§ 36. Векторное умножение векторов

Определения и обозначения

Векторным произведением векторов a и b называют вектор, перпендикулярный и a, и b, длина которого равна |a||b| sin φ, где φ — угол между исходными векторами. Записывают a × b. Такой объект нужен, когда важно получить направление, перпендикулярное двум заданным направлениям, а также вычислить площадь параллелограмма.

Направление произведения задают правилом правой руки: если сгибать пальцы от первого вектора ко второму по меньшему углу, большой палец укажет направление a × b. Тройка векторов (a, b, a × b) называется правой. Это правило позволяет отличать два возможных направления перпендикуляра и учитывать порядок векторов.

Векторное произведение равно нулевому вектору, если хотя бы один сомножитель нулевой или исходные векторы коллинеарны. Коллинеарные векторы направлены вдоль одной прямой, поэтому угол между ними равен 0° или 180°, а его синус равен нулю. Это условие помогает распознавать параллельность векторов и вырожденность параллелограмма.

Для a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃) координаты произведения вычисляют по формуле a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). Она превращает геометрическую операцию в вычисление по координатам. Её удобно применять, когда векторы заданы числами, а не чертежом.

Как это устроено

Почему результат перпендикулярен обоим векторам? Направление, перпендикулярное двум неколлинеарным векторам, существует: оно совпадает с направлением нормали к плоскости, в которой лежат эти векторы. Но возможны два противоположных направления, поэтому одной перпендикулярности недостаточно. Правило правой руки выбирает одно из них и связывает его с порядком исходных векторов.

Длина произведения зависит от угла, потому что она измеряет площадь параллелограмма, построенного на a и b. Площадь равна основанию, умноженному на высоту; если основанием взять |a|, высота равна |b| sin φ. При прямом угле синус максимален и равен единице, поэтому длина произведения максимальна. При коллинеарности высота равна нулю, а вместе с ней исчезает площадь и произведение.

Если поменять векторы местами, правило правой руки укажет противоположное направление, поэтому a × b = −(b × a). В частности, a × a = −(a × a), откуда следует, что произведение равно нулю. Тот же вывод согласуется с геометрией: угол вектора с самим собой равен нулю, а синус нуля равен нулю. Антикоммутативность — название свойства, при котором перестановка сомножителей меняет знак результата.

Распределительность позволяет раскрывать произведение суммы на вектор: a × (b + c) = a × b + a × c. Причина в том, что при разложении суммы на составляющие соответствующие перпендикулярные направления и площади складываются с учётом ориентации. Аналогично (a + b) × c = a × c + b × c. Числовой множитель тоже можно вынести: (λa) × b = λ(a × b) и a × (λb) = λ(a × b); при отрицательном λ направление меняется.

Координатную формулу получают, раскладывая каждый вектор по единичным направлениям осей и применяя распределительность. Произведения одинаковых единичных векторов равны нулю, поскольку векторы коллинеарны; произведения разных осевых векторов перпендикулярны третьему направлению. При перестановке их порядок меняет знак, например e₁ × e₂ = e₃, а e₂ × e₁ = −e₃. После группировки координат остаются три разности, и получается формула из определений.

Основные свойства векторного произведения

Сначала выберите нужную строку по задаче: формула длины подходит для площади, а условие нулевого произведения — для проверки коллинеарности. Если важны координаты и направление, используйте формулу произведения и учитывайте порядок векторов. В таблице знак ⟂ означает перпендикулярность, а φ — угол между векторами.

Разбор задач

1. Длина произведения по длинам и углу

Даны |a| = 5, |b| = 4 и угол φ = 30°. Требуется найти длину a × b. Здесь не нужно определять направление результата: достаточно формулы для его модуля. Подставим известные значения и учтём, что sin 30° = ½.

1. Записываем формулу: |a × b| = |a||b| sin φ.
2. Подставляем данные: |a × b| = 5 · 4 · sin 30°.
3. Вычисляем: 20 · ½ = 10.

Ответ: длина векторного произведения равна 10. Такой же результат получился бы как площадь параллелограмма на этих векторах. Если бы угол был нулевым, длина произведения стала бы равна нулю.

2. Произведение по координатам и проверка перпендикулярности

Пусть a = (1, 2, 0), b = (3, 0, 4). Найдём произведение и проверим, что оно перпендикулярно каждому из исходных векторов. Проверка нужна, чтобы убедиться не только в арифметике, но и в соответствии результата определению. Для этого после вычисления используем скалярное произведение.

1. Применяем координатную формулу: a × b = (2 · 4 − 0 · 0, 0 · 3 − 1 · 4, 1 · 0 − 2 · 3).
2. Вычисляем координаты: a × b = (8, −4, −6).
3. Проверяем перпендикулярность к a: (8, −4, −6) · (1, 2, 0) = 8 − 8 + 0 = 0.
4. Проверяем перпендикулярность к b: (8, −4, −6) · (3, 0, 4) = 24 + 0 − 24 = 0.

Ответ: a × b = (8, −4, −6); оба скалярных произведения равны нулю, значит, результат перпендикулярен каждому исходному вектору. При перестановке a и b получился бы противоположный вектор (−8, 4, 6).

3. Площадь параллелограмма и параметр

На векторах a = (t, 0, 0) и b = (1, 2, 0) построен параллелограмм. Найдём его площадь и выясним, при каком t она равна нулю. Площадь равна длине векторного произведения, поэтому сначала найдём само произведение, а затем его модуль. Нулевая площадь означает, что параллелограмм выродился в отрезок.

1. Находим произведение: a × b = (0, 0, 2t).
2. Вычисляем длину: |a × b| = √((2t)²) = 2|t|.
3. Приравниваем площадь к нулю: 2|t| = 0, откуда t = 0.

Ответ: площадь равна 2|t|, а нулевой она становится при t = 0. При этом первый вектор нулевой, поэтому параллелограмм не имеет площади. Для ненулевых t векторы не коллинеарны, и площадь положительна.

Типичные ошибки

Меняют местами сомножители, но оставляют прежний результат. Ошибка возникает, если воспринимать векторное произведение как обычное умножение: на самом деле a × b = −(b × a). Проверьте себя: при перестановке векторов направление результата должно стать противоположным.

Подставляют косинус вместо синуса в формулу длины. Это часто происходит из-за смешения векторного и скалярного произведений, но косинус связан со скалярным произведением, а площадь параллелограмма определяется через высоту |b| sin φ. Проверьте крайние случаи: при прямом угле длина произведения максимальна, а при коллинеарных векторах равна нулю.

Считают векторное произведение числом, как скалярное. Путаница возникает из-за общего слова «произведение», однако результат здесь имеет три координаты и направление. Для самопроверки убедитесь, что координатная формула даёт вектор, перпендикулярный обоим сомножителям.

Определяют направление результата, не учитывая порядок исходных векторов. Правило правой руки применяется именно от первого вектора ко второму, а не просто к паре без заданного порядка. Чтобы проверить знак, поменяйте векторы местами мысленно: новый результат должен быть противоположным.

Связь с другими темами

Для работы с векторным произведением нужны координаты вектора, понятие угла между векторами и скалярное произведение. Условие перпендикулярности через скалярное произведение помогает проверять результат по координатам. Само векторное произведение используется для нахождения площадей и построения нормали — вектора, перпендикулярного плоскости. Поэтому оно помогает решать задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Векторное произведение перпендикулярно обоим исходным векторам.
• Длина произведения равна |a||b| sin угла между векторами.
• При перестановке сомножителей произведение меняет знак.
• Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.
• Длина векторного произведения равна площади параллелограмма на исходных векторах.
• Координаты произведения вычисляют по координатной формуле.