38.2. Движение и равенство фигур

Определения и обозначения

Движение пространства — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми точками. Это означает, что для любых точек A и B расстояние AB равно расстоянию между их образами. Условие относится ко всему пространству, поэтому движение нельзя определить по одной выбранной паре точек. Оно нужно, чтобы описывать преобразования, не меняющие размеров фигур.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании. Если точка A переходит в A′, то A′ называют образом A; тем же движением каждой точке пространства сопоставляется ровно один образ. Так задаётся соответствие между исходными точками и точками после преобразования. Образ фигуры получают, взяв образы всех точек, принадлежащих этой фигуре.

Равными фигурами называют фигуры, одна из которых переводится в другую некоторым движением. Они могут не совпадать в начальном положении, но после преобразования одна полностью совмещается с другой. Такое определение позволяет сравнивать не только расположение фигур на рисунке, но и их форму с размерами. Для доказательства равенства нужно указать подходящее движение.

Инвариант движения — величина или свойство, которое не меняется при движении. Расстояние между точками является таким инвариантом: если A переходит в A′, а B — в B′, то AB = A′B′. Поэтому длина каждого отрезка сохраняется. Понятие инварианта помогает быстро находить свойства образа, не измеряя его заново.

Как это устроено

Расстояние между каждой парой точек задаёт, насколько далеко точки расположены друг от друга. Если при преобразовании сохраняются все такие расстояния, не могут измениться и длины сторон, диагоналей и других отрезков фигуры. Взаимное расположение точек, выраженное через эти расстояния, также остаётся прежним. Поэтому движение меняет положение фигуры в пространстве, но не растягивает её и не сжимает.

При движении точки исходной фигуры переходят в соответствующие точки образа, причём соответствие действует сразу для всей фигуры. Например, если вершины треугольника A, B и C переходят в A′, B′ и C′, остальные точки его сторон и внутренней области тоже получают свои образы. Образ фигуры — не только набор образов вершин: в него входят образы всех её точек. Именно поэтому преобразование переносит целую фигуру, а не только обозначенные точки.

Критерий равенства фигур непосредственно следует из определения: фигуры равны тогда и только тогда, когда существует движение, переводящее одну в другую. Слово «существует» означает, что достаточно предъявить подходящее преобразование и проследить, куда оно переводит точки первой фигуры. Если после этого образ совпадает со второй фигурой, все её точки соответствуют точкам исходной фигуры. Так доказывают равенство фигур, не требуя их начального совпадения.

Движение сохраняет длины отрезков, потому что длина отрезка — это расстояние между его концами. Оно сохраняет и величины углов: расстояния между точками сторон не меняются, поэтому стороны не сближаются и не расходятся относительно вершины. Следовательно, у образа сохраняются длины сторон и углы фигуры. Вместе с ними сохраняются свойства, которые выражаются через эти величины, например равенство сторон или прямой угол.

Равенство фигур не означает, что они должны уже совпадать на чертеже. Одна фигура может быть сдвинута или повёрнута относительно другой, но такие перемещения не меняют расстояния между её точками. Поэтому достаточно мысленно применить движение, чтобы совместить фигуры. Отражение также сохраняет расстояния и является движением, так что зеркально расположенные фигуры тоже могут быть равными.

Движение и равенство фигур

В таблице удобно различать само преобразование, соответствие точек и результат применения движения к фигуре. При сравнении фигур сначала проверяют условие сохранения расстояний, затем устанавливают соответствие точек. Если найдено движение, переводящее одну фигуру в другую, фигуры равны.

Разбор задач

1. Сохранение расстояния

Движение переводит точки A и B в точки A′ и B′. Известно, что AB = 7 см. Найдите A′B′. Нужно определить, какое свойство движения относится к паре данных точек, а не искать новое расстояние измерением. Поскольку A′ и B′ — образы именно A и B, расстояние между ними сохраняется.

1. Запишем исходные данные: AB = 7 см.
2. По определению движения расстояние между точками равно расстоянию между их образами: A′B′ = AB.
3. Подставим известную длину: A′B′ = 7 см.

Ответ: 7 см.

2. Стороны и углы образа треугольника

Треугольник ABC движением переведён в треугольник A′B′C′. Объясним, почему соответствующие стороны и углы этих треугольников равны. Соответствие вершин задано: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′. Сначала используем сохранение расстояний для пар вершин, а затем рассмотрим углы, образованные соответствующими сторонами.

1. Для пары A и B движение даёт AB = A′B′; аналогично BC = B′C′ и AC = A′C′.
2. Значит, каждая сторона треугольника и её образ имеют одинаковую длину.
3. При движении взаимное расположение сторон не меняется, поэтому сохраняются углы между соответствующими сторонами: ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′ и ∠C = ∠C′.

Ответ: соответствующие стороны равны по сохранению расстояний, а соответствующие углы равны, поскольку движение сохраняет их величины.

3. Доказательство равенства треугольников

Докажите, что два данных треугольника равны, если существует движение, переводящее вершины первого треугольника в соответствующие вершины второго. Сам факт существования движения — ключевая часть условия: по определению он является критерием равенства фигур. Нужно уточнить, что оно переводит не только три вершины, но и все точки треугольника.

1. Обозначим треугольники ABC и A′B′C′ и рассмотрим заданное движение, переводящее A, B, C соответственно в A′, B′, C′.
2. Каждая точка сторон и внутренней области ABC также переходит в свой образ, потому что движение определено для всех точек фигуры.
3. Образ всего треугольника ABC совпадает с треугольником A′B′C′. Следовательно, одно движение переводит первый треугольник во второй.

Ответ: треугольники равны по определению равных фигур.

Типичные ошибки

• Считать равными только совпадающие на рисунке фигуры. Так думают, потому что сравнивают исходное положение, а не форму и размеры. Проверьте, можно ли совместить фигуры перемещением, поворотом или другим движением: совпадать заранее им не обязательно.
• Путать движение с произвольным преобразованием. Не всякое преобразование сохраняет форму: например, растяжение меняет расстояния. Уточните, сохраняются ли расстояния между любыми парами точек, а не только остаётся ли узнаваемой фигура.
• Считать достаточным сохранение одной длины. Это ошибка, потому что неподвижность или неизменность одного отрезка ничего не говорит о других точках. Проверьте условие для произвольных двух точек пространства: только тогда преобразование является движением.
• Не указывать движение и соответствие точек при доказательстве равенства. Одного заявления «фигуры одинаковы» недостаточно: из него не видно, почему точки и целые фигуры совмещаются. Назовите преобразование и покажите, куда переходят соответствующие точки; затем убедитесь, что образ одной фигуры — вся другая.

Связь с другими темами

Для изучения движения нужно понимать расстояние между точками, фигуру и преобразование пространства: именно эти понятия входят в определение. Свойства отрезков и углов объясняют, почему сохраняются длины сторон и величины углов; признаки равенства треугольников помогают распознавать совпадение фигур по их элементам. Движения лежат в основе изучения симметрий и преобразований фигур. Они также дают способ обосновывать геометрические равенства, когда фигуры расположены по-разному.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми точками.
• При движении каждой точке соответствует её образ.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Движение сохраняет длины отрезков и величины углов.
• Фигуры равны, если одна переводится в другую движением.
• Равные фигуры могут занимать разные положения в пространстве.