38.1. Отображение

Определения и обозначения

Отображение — соответствие, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие ровно один элемент другого множества. Например, правило f(x) = 2x каждому числу x назначает одно число 2x. Это условие позволяет однозначно определить результат для любого допустимого элемента.

Область определения — множество элементов, для которых задано соответствие. Если записано f: A → B, то область определения обозначена A. Зная её, можно понять, для каких элементов разрешено применять правило, и не рассматривать объекты, для которых результат не задан.

Область значений — множество всех элементов, которые являются образами элементов области определения. Она состоит не из всех возможных результатов, а только из тех, которые действительно получаются при подстановке элементов A. Это понятие помогает отделить реальные значения отображения от более широкого множества назначения B.

Образ элемента — результат отображения этого элемента, а прообраз заданного результата — элемент, который в него отображается. Образ x обозначают f(x); прообраз y ищут среди элементов, для которых f(x) = y. Эти названия нужны, чтобы различать направление соответствия: от исходного элемента к результату и обратно.

Как это устроено

Каждому элементу области определения необходим ровно один результат, потому что отображение задаёт определённое правило выбора. Если для элемента результата нет, правило не действует на всей заявленной области; если результатов несколько, нельзя однозначно сказать, чему равен образ. В обоих случаях нарушается смысл функции как однозначного соответствия. Поэтому при проверке схемы сначала просматривают все исходные элементы и считают выходящие из каждого стрелки.

Запись f: A → B сообщает сразу три вещи: f — обозначение отображения, A — множество исходных элементов, B — множество, куда направлены результаты. Само правило может быть записано отдельно, например формулой f(x) = 2x − 1. При этом не требуется, чтобы каждый элемент B получился: стрелка показывает, где могут находиться образы, а не гарантирует, что все элементы назначения будут использованы.

Чтобы найти образ отдельного элемента, подставляют его в правило и вычисляют результат. Область значений получается, если проделать это для всех элементов области определения и собрать результаты в множество, не повторяя одинаковые значения. Если область определения бесконечна, вместо перебора обычно анализируют формулу и условия задачи. В обоих случаях область значений включает только фактически получающиеся образы.

Образ множества и прообраз не следует смешивать. Образ подмножества C — это множество результатов f(x) для всех x из C; прообраз элемента y — все исходные элементы, которые переходят в y. Можно также говорить о прообразе множества, собирая элементы A, чьи образы принадлежат этому множеству. Несколько исходных элементов могут перейти в один результат, поэтому у него бывает несколько прообразов.

Правило отображения можно задать формулой, таблицей значений, стрелочной схемой или геометрическим описанием. Формула удобна для вычислений, таблица перечисляет соответствия для отдельных элементов, а схема позволяет увидеть, куда ведут стрелки и есть ли у исходного элемента один результат. Геометрическое правило, например преобразование координат точки, задаёт образ каждой допустимой точки. Какой бы способ ни использовался, проверяют одно и то же условие: у каждого элемента области определения должен быть ровно один образ.

Основные элементы и характеристики отображения

При чтении записи f: A → B сначала определите, откуда берутся исходные элементы и где могут находиться результаты. Затем примените правило, чтобы найти конкретные образы или собрать область значений. Для поиска прообраза двигайтесь в обратном направлении и проверяйте, какие элементы области определения дают нужный результат.

Разбор задач

Задача 1

Для отображения f: A → B, заданного формулой f(x) = 2x − 1 на множестве A = {0, 1, 2, 3}, найдём образы всех элементов и область значений. Так как область определения конечна, достаточно подставить каждый её элемент. Полученные значения и составят область значений.

1. Подставим x = 0: f(0) = 2 · 0 − 1 = −1.
2. Подставим x = 1: f(1) = 2 · 1 − 1 = 1.
3. Подставим x = 2: f(2) = 2 · 2 − 1 = 3; при x = 3 получим f(3) = 2 · 3 − 1 = 5.
4. Объединим результаты: область значений равна {−1, 1, 3, 5}.

Ответ: f(0) = −1, f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5; область значений — {−1, 1, 3, 5}. Здесь каждый образ найден подстановкой элемента из A, поэтому других результатов быть не может.

Задача 2

По стрелочной схеме требуется определить, является ли соответствие отображением, найти образ элемента, прообраз указанного элемента и область значений. Конкретная схема задаёт сами стрелки, поэтому сначала нужно прочитать их, а затем применить определения. Проверка отображения предшествует остальным вопросам: если правило не является отображением, использовать его как однозначное отображение нельзя.

1. Для каждого элемента исходного множества посчитайте исходящие стрелки. Если от каждого выходит ровно одна, схема задаёт отображение; если у элемента нет стрелки или их больше одной, условие нарушено.
2. Чтобы найти образ указанного элемента, проследите его стрелку до элемента множества назначения.
3. Чтобы найти прообраз заданного элемента, найдите все стрелки, которые заканчиваются в нём. Их начальные элементы и будут прообразами.
4. Для области значений выпишите все элементы назначения, в которые приходит хотя бы одна стрелка, и не повторяйте их.

Ответ: он определяется конкретными стрелками схемы. Такая последовательность позволяет не спутать образ с прообразом: образ читается от исходного элемента, а прообраз — по стрелкам, пришедшим в заданный результат.

Задача 3

Точка (x, y) отображается в точку (x + 2, y − 1). Найдём образы точек (1, 3) и (−2, 0), а затем прообраз точки (4, 5). Для образа сразу применяем правило к координатам; для прообраза неизвестные исходные координаты восстанавливаем из двух равенств.

1. Для (1, 3): (1 + 2, 3 − 1) = (3, 2).
2. Для (−2, 0): (−2 + 2, 0 − 1) = (0, −1).
3. Пусть прообраз точки (4, 5) имеет координаты (x, y). Тогда x + 2 = 4 и y − 1 = 5.
4. Решаем равенства: x = 2, y = 6. Следовательно, искомый прообраз — точка (2, 6).

Ответ: образы — (3, 2) и (0, −1), прообраз точки (4, 5) — (2, 6). Проверка обратной подстановкой даёт (2 + 2, 6 − 1) = (4, 5), значит, координаты найдены верно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать отображением соответствие, в котором одному элементу назначены два разных результата. Её допускают, если проверяют наличие стрелки, но не их количество. Проверьте каждый исходный элемент: из него должна выходить ровно одна стрелка; отсутствие стрелки также нарушает определение.

Область значений иногда принимают за всё множество назначения. Причина в том, что оба множества связаны с возможными результатами, но B может содержать элементы, в которые не ведёт ни одна стрелка. Чтобы проверить ответ, перечислите только реально получившиеся образы и сравните их с B: область значений должна быть подмножеством B.

Образ и прообраз путают, меняя направление соответствия. Образ — это результат, полученный из исходного элемента, а прообраз — исходный элемент, ведущий к заданному результату. Проверьте себя равенством f(x) = y: x является прообразом y, а y — образом x.

Прообраз иногда ищут как единственный объект, хотя это не всегда верно. Ошибка возникает, когда предполагают, что правило можно обратить однозначно. Решите уравнение f(x) = y и проверьте все решения из области определения: их может не быть, быть одно или несколько.

Связь с другими темами

Для изучения отображений нужно понимать, что такое множество, его элемент и подмножество, а также как читать заданное соответствие. В задачах с точками понадобятся координаты и умение решать системы равенств. Эти знания позволяют описывать геометрические правила через координаты и находить исходную точку по её образу.

Дальше понятие отображения используется при изучении преобразований плоскости и пространства, движений и симметрий. Оно помогает точно задавать, куда переходит каждая точка, и сравнивать разные преобразования. Особый случай — взаимно однозначное соответствие, при котором элементы двух множеств связаны без повторов и пропусков в обоих направлениях.

Что запомнить

• Отображение каждому элементу области определения ставит в соответствие ровно один элемент.
• Запись f: A → B означает, что область определения — A, а множество назначения — B.
• Образ элемента x обозначают f(x).
• Область значений состоит из всех фактически получающихся образов.
• У одного элемента может быть несколько прообразов.
• Множество назначения и область значений отображения — не обязательно одно и то же.