§ 38. Движения их общие свойства

Определения и обозначения

Движение — преобразование пространства, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Это означает, что для точек A и B и их образов A′ и B′ выполняется AB = A′B′. Такое условие отличает движение от преобразования, которое может растянуть или сжать фигуру.

Образ точки или фигуры — результат её перемещения при заданном движении. Образ точки A обозначают A′, а образ фигуры F — F′. Эти обозначения помогают отдельно говорить об исходном объекте и о том, во что он перешёл.

Обратное движение — преобразование, которое возвращает каждую точку из её образа в исходное положение. Если движение переводит A в A′, обратное переводит A′ в A. Оно нужно, чтобы восстановить исходную фигуру или перейти от образа к прообразу.

Композиция движений — последовательное выполнение двух или нескольких движений, рассматриваемое как одно преобразование. Сначала применяют одно движение, затем к полученному образу — следующее. Так можно описывать сложное перемещение, не смешивая его отдельные этапы.

Как это устроено

Главный признак движения — сохранение расстояний между всеми парами точек. Одной сохранённой длины недостаточно: преобразование может оставить неизменным один отрезок, но растянуть остальные. Если же условие выполняется для любых двух точек, не меняются все длины, определяющие взаимное расположение частей фигуры.

Отрезок переходит в равный ему отрезок, потому что его концы переходят в точки на том же расстоянии друг от друга, а промежуточные точки сохраняют свои положения между концами. Для прямой можно взять несколько её точек: они коллинеарны, и их образы также лежат на одной прямой. Кроме того, любая точка исходной прямой переходит в точку этой прямой-образа, поэтому прямая не превращается в кривую.

Угол сохраняется, поскольку его можно определить через расстояния между точками на его сторонах: движение оставляет эти расстояния неизменными, а значит, сохраняет форму угла. Коллинеарность также сохраняется: если точки лежат на одной прямой, их образы лежат на прямой-образе. Параллельные прямые не пересекаются, и их образы тоже не могут пересечься: движение взаимно однозначно, поэтому точка пересечения образов означала бы пересечение исходных прямых.

При движении плоскость переходит в плоскость: три не лежащие на одной прямой точки задают исходную плоскость, а их образы задают плоскость-образ. Расстояния до этих трёх точек определяют принадлежность плоскости и сохраняются при преобразовании. Поэтому точки фигуры остаются в одной плоскости, если исходная фигура была плоской.

Поскольку сохраняются длины и углы, форма и размеры фигуры остаются прежними, хотя её положение в пространстве меняется. Соответствующие фигуры равны, а их площади и объёмы одинаковы. Движение может перенести фигуру или отразить её, но не может превратить квадрат в прямоугольник иной формы.

Обратное движение существует, потому что разные точки не могут перейти в одну и ту же: при этом расстояние между образами стало бы нулём, хотя исходное расстояние было ненулевым. Для обратного преобразования расстояние между каждой парой точек также сохраняется. При композиции расстояние не меняется на каждом этапе, поэтому оно не меняется и после всей последовательности движений.

Общие свойства движения

Таблица показывает, какие свойства можно переносить с исходной фигуры на её образ. В задаче сначала определите нужный объект, затем найдите соответствующую строку и примените указанное свойство. Помните: речь идёт о соответствующих точках и фигурах, а не о сохранении их положения в пространстве.

Разбор задач

Проверяем, достаточно ли одного расстояния

Дано преобразование, при котором A переходит в A′, B — в B′, AB = 7 см и A′B′ = 7 см. Нужно выяснить, можно ли по этому условию назвать преобразование движением. Сопоставим данные с определением, которое требует проверить не одну пару точек, а любые две.

1. Запишем, что известно: расстояние между образами выбранных точек равно исходному, то есть A′B′ = AB. Это подтверждает сохранение расстояния только для пары A и B.

2. Проверим определение движения: для каждой пары точек X и Y должно выполняться X′Y′ = XY. В условии нет сведений о других парах.

3. Следовательно, равенство 7 см само по себе не доказывает, что преобразование является движением. Оно может менять расстояния между другими точками.

Ответ: нет, этого недостаточно.

Доказываем равенство треугольников

Движение переводит вершины треугольника ABC в точки A′, B′ и C′. Требуется доказать, что треугольник A′B′C′ равен исходному. Для этого сравним соответствующие стороны: их длины определяются расстояниями между парами вершин.

1. По свойству движения расстояния между любыми двумя точками сохраняются. Поэтому AB = A′B′, BC = B′C′ и AC = A′C′.

2. Получили равенство трёх соответствующих сторон. По признаку равенства треугольников по трём сторонам треугольники ABC и A′B′C′ равны.

3. Значит, движение переводит весь треугольник в равную ему фигуру, а не только его вершины. Образы точек сторон заполняют соответствующие стороны образа.

Ответ: треугольники ABC и A′B′C′ равны, поскольку попарные расстояния между вершинами сохраняются.

Переносим параллельность прямой и плоскости

Движение переводит прямую a в прямую a′, а плоскость α — в плоскость α′. Если a параллельна α, нужно доказать, что a′ параллельна α′. Используем определение параллельности прямой и плоскости: прямая не имеет с плоскостью общих точек.

1. Так как a не пересекает α, у этих объектов нет общей точки. При движении каждая точка переходит в свой образ, а прямая и плоскость переходят в a′ и α′.

2. Предположим, что a′ пересекает α′ в точке X′. У движения есть обратное движение, поэтому X′ имеет прообраз X. Из принадлежности X′ образам следует, что X принадлежит и a, и α.

3. Это противоречит условию, что a не пересекает α. Значит, a′ и α′ не имеют общих точек, то есть прямая a′ параллельна плоскости α′.

Ответ: a′ параллельна α′.

Типичные ошибки

Считать движением любое перемещение рисунка без проверки расстояний между всеми парами точек — значит подменять определение внешним видом. Так ошибаются, когда видят, что одна сторона не изменилась, и делают вывод обо всей фигуре. Проверьте условие для произвольных точек A и B: должно выполняться AB = A′B′.

Говорить, что при движении сохраняются сами точки, неверно: точки обычно переходят в другие положения. Сохраняются расстояния, углы и отношения между объектами, а не координаты или место фигуры в пространстве. Для самопроверки проследите, какой объект обозначен без штриха, а какой — с обозначением образа.

Образ и прообраз легко перепутать, особенно при применении обратного движения. Если A переходит в A′, то исходное движение направлено от A к A′, а обратное — от A′ к A. Перед решением запишите эту пару стрелкой и проверьте, в какую сторону требуется перейти.

Нельзя считать, что любое движение сохраняет ориентацию: отражение меняет её, но оставляет все расстояния прежними. Ошибку допускают, если отождествляют движение только с переносом или поворотом. Проверьте определение: если расстояния между всеми парами точек сохраняются, преобразование является движением, даже когда фигура отражена.

Связь с другими темами

Для изучения движений нужны понятия расстояния между точками, равенства фигур, свойства прямых и плоскостей и признаки параллельности. Свойства движений помогают доказывать равенство фигур и решать задачи на геометрические преобразования. Эта тема подготавливает изучение частных движений: параллельного переноса, поворота, осевой и центральной симметрии.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• При движении сохраняются длины, углы, форма и размеры фигур.
• Прямая переходит в прямую, а плоскость — в плоскость.
• Коллинеарность точек и параллельность прямых при движении сохраняются.
• Обратное движение также является движением.
• Композиция движений также является движением.