"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Объём показывает, какую часть пространства занимает тело, и помогает сравнивать тела, рассчитывать вместимость сосудов и решать задачи о погружении предметов. Для призмы и цилиндра он равен площади основания, умноженной на высоту; для пирамиды и конуса в формуле появляется множитель ⅓. Объём шара зависит от куба радиуса. Чтобы выбрать формулу правильно, нужно различать высоту и боковое ребро, находить площадь основания и следить за единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, которая характеризует часть пространства, занимаемую телом. Его измеряют в кубических единицах, например см³ или м³. Объём нужен, чтобы сравнивать вместимость тел и вычислять, сколько вещества или жидкости помещается в сосуд.
Объём призмы — произведение площади её основания на высоту: V = Sоснh. Высота h — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований, а Sосн обозначает площадь одного основания. Это определение подходит и для наклонной призмы, у которой боковые рёбра не перпендикулярны основаниям.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Высота здесь проводится от вершины перпендикулярно к плоскости основания. Множитель ⅓ отличает формулу пирамиды от формулы призмы с теми же основанием и высотой.
Объём тела вращения вычисляют по формуле, соответствующей его форме: для цилиндра — πr²h, для конуса — ⅓πr²h, для шара — ⁴⁄₃πr³. Здесь r — радиус круглого основания или шара, h — высота цилиндра либо конуса. Эти формулы позволяют выразить объём через размеры, которые обычно даны в условии задачи.
Объём является мерой, поэтому равным телам соответствуют равные объёмы: у них одинаковое количество пространства внутри границы. Если тело разделить на несколько частей, все части вместе занимают ровно то же пространство, что и исходное тело. Поэтому объём исходного тела равен сумме объёмов частей; этот принцип особенно удобен для составных тел.
Принцип Кавальери позволяет сравнивать объёмы, не раскладывая тело на отдельные слои. Если два тела имеют одинаковую высоту и на каждом уровне их сечения параллельными плоскостями равны по площади, то объёмы этих тел равны. Причина в том, что на любой высоте тела содержат одинаковое количество площади, а значит, при сложении таких слоёв получается одинаковый объём.
У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому её можно мысленно разрезать на тонкие слои одинаковой высоты. Площадь каждого слоя равна площади основания, и вместе они дают V = Sоснh. У наклонной призмы слои могут выглядеть сдвинутыми, но их площади на одинаковых высотах не меняются; по принципу Кавальери объём остаётся тем же.
Пирамида с теми же основанием и высотой, что у призмы, занимает треть её объёма. Это следует из того, что горизонтальное сечение пирамиды на высоте, равной доле t от основания, подобно основанию, а его площадь уменьшается в t² раз. Суммарный объём таких уменьшающихся слоёв равен одной трети объёма призмы, поэтому в формуле появляется множитель ⅓.
В задаче сначала выясняют, какое тело описано и какие его размеры известны, затем выбирают соответствующую формулу. Если дана сторона основания, сначала находят площадь многоугольника; если размеры нескольких тел связаны, составляют равенство объёмов или используют их сумму. Такой порядок помогает не подменить нужную величину похожей, но неподходящей длиной.
| Тело | Формула объёма | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Призма | V = Sоснh | Sосн — площадь основания, h — расстояние между основаниями |
| Пирамида | V = ⅓Sоснh | Sосн — площадь основания, h — высота от вершины к основанию |
| Цилиндр | V = πr²h | r — радиус основания, h — высота |
| Конус | V = ⅓πr²h | r — радиус основания, h — высота от вершины |
| Шар | V = ⁴⁄₃πr³ | r — радиус шара |
Сначала определи тип тела, затем выпиши известные величины и сопоставь их с обозначениями в таблице. Для призмы и пирамиды может потребоваться отдельно вычислить площадь основания. Все длины перед подстановкой приведи к одной единице измерения.
Задача 1. Найти объём прямой призмы, если площадь основания равна 24 см², а высота — 5 см. В условии уже дана площадь, поэтому дополнительно исследовать форму основания не нужно. Проверим, что обе величины заданы в сантиметрах или квадратных сантиметрах.
Ответ: 120 см³. Если бы была дана наклонная призма, в формулу всё равно подставляли бы её высоту как расстояние между плоскостями оснований. Боковое ребро вместо высоты использовать нельзя.
Задача 2. Найти объём пирамиды высотой 9 см с прямоугольным основанием со сторонами 4 см и 6 см. Площадь основания не дана напрямую, поэтому сначала найдём её. Затем применим формулу пирамиды, не забывая множитель ⅓.
Ответ: 72 см³. Такой порядок подходит для основания любой формы: сначала вычисляют его площадь по известным размерам, после чего находят объём. Если основание — многоугольник, его площадь можно получить, разбив его на знакомые фигуры.
Задача 3. В цилиндрическом сосуде радиусом 5 см вода поднялась на 3 см после полного погружения тела. Нужно найти объём тела, считая, что вода не переливалась и тело целиком оказалось под водой. Погружённое тело вытеснило воду, занявшую такой же объём, как само тело. Значит, достаточно вычислить объём поднявшегося цилиндрического слоя.
Ответ: 75π см³ (приблизительно 236 см³). Метод работает и для тела неправильной формы, если оно полностью погружено. Если погружена только часть тела, найден будет объём именно этой части.
Подстановка бокового ребра вместо высоты приводит к неверному объёму, потому что ребро может быть наклонным. Эту ошибку допускают, когда принимают за высоту самый заметный отрезок на чертеже. Проверь себя: высота должна быть перпендикулярна плоскости основания, а для призмы — измерять расстояние между плоскостями оснований.
Если забыть множитель ⅓ в формуле пирамиды или конуса, получится объём соответствующей призмы или цилиндра с теми же основанием и высотой. Это часто происходит из-за сходства формул. Перед вычислением запиши формулу целиком и проверь, есть ли в ней ⅓.
Сторона основания — длина, а не площадь, поэтому её нельзя напрямую подставлять вместо Sосн. Ошибка возникает, когда известный размер кажется достаточным для расчёта. Сначала определи форму основания и вычисли его площадь, затем проверь единицы: площадь должна быть выражена в квадратных, а не линейных единицах.
Смешение единиц, например метров и сантиметров, искажает результат; кроме того, объём выражают в кубических единицах, а не в квадратных. Причина обычно в том, что единицы проверяют только в конце. До подстановки приведи все длины к одной единице, а после умножения площади на длину убедись, что получились кубические единицы.
Для вычисления объёмов призмы и пирамиды нужны формулы площадей многоугольников, поэтому полезно уверенно находить площади треугольников и четырёхугольников. Понимание перпендикуляров и сечений помогает отличить высоту тела от его наклонного ребра и увидеть, как устроено доказательство по принципу Кавальери. Эти знания применяются в задачах о составных телах, заполнении сосудов и отношениях объёмов. В задачах на погружение изменение уровня жидкости связывает геометрию с измерениями объёма.
Чем высота тела отличается от его бокового ребра?
Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований призмы или от вершины пирамиды до плоскости основания. Боковое ребро может быть наклонным и поэтому обычно не равно высоте.
Почему объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы с теми же основанием и высотой?
Сечения пирамиды плоскостями, параллельными основанию, подобны основанию, но уменьшаются по мере приближения к вершине. Если сравнить площади таких сечений с соответствующими сечениями призмы и применить принцип Кавальери, получится, что объём пирамиды составляет треть объёма призмы.
Как найти объём наклонной призмы?
Используй ту же формулу, что и для прямой призмы: V = Sоснh. Здесь h — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований, а не длина наклонного бокового ребра.
Что делать, если в условии дана сторона основания, а нужна его площадь?
Сначала определи, какой многоугольник образует основание, и найди его площадь по подходящей формуле. Например, для прямоугольника перемножь стороны, а для треугольника используй половину произведения стороны на высоту к ней.
Как определить объём тела неправильной формы по изменению уровня воды?
Если тело полностью погружено, оно вытесняет объём воды, равный собственному объёму. В цилиндрическом сосуде объём поднявшегося слоя воды равен πr²Δh, где r — радиус сосуда, а Δh — изменение уровня.
З Задачи к главе VIII
