"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Движение пространства — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Оно позволяет сравнивать фигуры, не меняя их размеров и формы, и доказывать равенство фигур через переход от одной к другой. Из сохранения расстояний следуют важные свойства: прямые переходят в прямые, плоскости — в плоскости, сохраняются углы и параллельность. Последовательное выполнение движений тоже является движением, а точки, не меняющие положения, называют неподвижными.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение пространства — преобразование, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Если точки A и B переходят в A₁ и B₁, то AB = A₁B₁. Это равенство позволяет проверять, действительно ли преобразование является движением, и служит основой для вывода остальных его свойств.
Обратное движение — преобразование, которое после данного движения возвращает каждую точку в исходное положение. Например, если движение переводит A в A₁, обратное переводит A₁ обратно в A. Понятие нужно, чтобы описывать, как отменить преобразование и восстановить исходную фигуру.
Произведение движений — результат последовательного выполнения двух движений: сначала одного, затем другого. Расстояние между точками после первого шага не меняется, а после второго вновь остаётся прежним. Поэтому произведение также является движением, хотя полученное преобразование может отличаться от каждого из двух исходных.
Неподвижная точка движения — точка, которая при преобразовании переходит сама в себя. Если точка A неподвижна, её образ совпадает с ней: A₁ = A. Это понятие помогает описывать, какие элементы пространства остаются на месте при конкретном движении.
Сначала выясним, почему разные точки не могут получить один и тот же образ. Пусть A и B — разные точки, но их образы совпали; тогда расстояние между образами равно нулю. Однако движение сохраняет расстояние, значит, AB тоже должно быть нулём, что противоречит различию A и B. Следовательно, движение переводит разные точки в разные.
Точки одной прямой можно расположить так, что одна из них находится между двумя другими; тогда расстояние между крайними равно сумме двух меньших. Например, если B лежит между A и C, то AC = AB + BC. Движение сохраняет все три расстояния, поэтому образы A₁, B₁ и C₁ удовлетворяют такому же равенству, а значит, лежат на одной прямой. Так сохраняется прямолинейность, а не просто случайное расположение нескольких образов.
Чтобы обосновать, что образом прямой является вся прямая, недостаточно показать, что образы нескольких её точек коллинеарны. Возьмём на исходной прямой точку A и любое расстояние от неё: на прямой есть точки по обе стороны от A на таком расстоянии, и их образы отстоят от образа A на то же расстояние. Так получают точки образа с обеих сторон и на любом удалении, поэтому образ не может быть лишь частью прямой. Здесь используются сохранение расстояний и взаимное расположение точек.
Плоскость задают три точки, не лежащие на одной прямой. Если их образы оказались бы на одной прямой, то расстояния между образами не соответствовали бы расстояниям между исходными точками: для коллинеарных точек одно расстояние равно сумме двух других, а у трёх неколлинеарных такого расположения нет. Значит, образы остаются неколлинеарными и задают плоскость. Образы остальных точек исходной плоскости лежат в этой плоскости, поэтому движение переводит плоскость в плоскость.
Угол можно связать с расстояниями: для двух лучей с общей вершиной расстояния от точек одного луча до точек другого зависят от величины угла. Поскольку движение сохраняет эти расстояния и прямые с их взаимным расположением, величина угла не меняется. Параллельные прямые остаются параллельными: они переходят в прямые, а сохранённое расположение не позволяет образам пересечься. Поэтому фигура сохраняет форму и размеры, то есть её образ равен исходной фигуре.
| Объект или свойство | Что происходит при движении | Основание |
|---|---|---|
| Расстояние между точками | Остаётся прежним | Определение движения |
| Прямая и её точки | Прямая переходит в прямую, точки — в точки этой прямой | Сохранение расстояний и коллинеарности |
| Плоскость | Переходит в плоскость | Образы трёх неколлинеарных точек неколлинеарны |
| Угол | Величина сохраняется | Сохраняются расстояния и расположение лучей |
| Параллельность прямых | Параллельные прямые переходят в параллельные | Сохраняются прямолинейность и взаимное расположение |
| Равенство фигур | Образ фигуры равен исходной | Сохраняются расстояния и форма |
Пользуйся таблицей как цепочкой обоснований: от определения движения переходи к сохранению прямых и плоскостей, а затем — углов и фигур. Если нужно доказать свойство образа, укажи, какие расстояния сохраняются и как из этого следует нужный вывод. Само перечисление свойств без такого обоснования не заменяет доказательства.
Задача 1. При движении точки A и B переходят в A₁ и B₁. Найдите A₁B₁, если AB = 7 см. Требуется связать длину исходного отрезка с длиной его образа, а не выполнять дополнительное построение. По определению движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
Ответ: 7 см.
Задача 2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, AB = 3 см, BC = 5 см, B находится между A и C. Образы точек при движении — A₁, B₁, C₁. Нужно показать, что эти образы также коллинеарны. Положение B между A и C даёт равенство AC = AB + BC, которое и сохраняется при движении.
Ответ: A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой, причём B₁ находится между A₁ и C₁.
Задача 3. Движение переводит вершины треугольника ABC в точки A₁, B₁, C₁. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и что соответствующие углы равны. Сначала нужно установить равенство сторон: из него следует равенство треугольников, а затем и углов. Такое решение использует определение движения и признак равенства треугольников по трём сторонам.
Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, их соответствующие углы равны.
Считать, что движение сохраняет только длины отдельных заранее выбранных отрезков. Так думают, потому что в задаче часто проверяют одну или несколько длин; однако по определению должны сохраняться расстояния между любыми двумя точками. Проверь себя: сформулируй равенство для произвольной пары A и B и их образов.
Утверждать, что образ прямой — прямая, лишь потому, что образы нескольких выбранных точек лежат на одной прямой. Это доказывает коллинеарность только этих точек, но не показывает, что на образе есть точки со всей прямой. Проверь рассуждение: объясни, почему образы точек на любом расстоянии от выбранной точки заполняют прямую в обе стороны.
Путать сохранение угла с сохранением его величины, не указывая соответствующие вершины и лучи. Такая ошибка возникает, когда говорят об углах без уточнения, какие именно элементы сравниваются. Проверь себя: запиши соответствие вершин и сторон угла, а затем укажи, что равны именно величины соответствующих углов.
Считать, что произведение движений совпадает с каждым из них по отдельности. Последовательность действий может дать новое положение фигуры, хотя расстояния при этом сохраняются. Проверь себя: не сравнивай полученное преобразование с исходными, а проверь, сохраняет ли оно расстояние между произвольными парами точек.
Для изучения движений нужны понятия расстояния между точками, коллинеарности, параллельности, угла и признаки равенства треугольников. Эти знания позволяют обосновать, почему сохраняются прямые, углы и фигуры, а не только запомнить результат. Идея сохранения расстояний связывает движение с равенством геометрических фигур и помогает доказывать геометрические утверждения. Позже свойства движений понадобятся при изучении симметрий и классификации движений пространства.
Что именно должно сохранять преобразование, чтобы считаться движением?
Оно должно сохранять расстояние между любой парой точек пространства. Если точки A и B переходят в A₁ и B₁, то AB = A₁B₁. Сохранения только некоторых отрезков недостаточно.
Почему при движении прямая не может перейти в кривую?
Три точки одной прямой расположены так, что расстояние между двумя крайними равно сумме расстояний до третьей. Движение сохраняет эти расстояния, поэтому их образы тоже лежат на одной прямой. То же рассуждение работает для всех точек исходной прямой.
Как доказать, что движение переводит плоскость в плоскость?
Выберите в исходной плоскости три точки, не лежащие на одной прямой. Их образы также не могут оказаться на одной прямой: иначе сохранились бы расстояния, несовместимые с исходным расположением. Три неколлинеарные точки задают плоскость, в которой лежат образы точек исходной плоскости.
Сохраняются ли при движении углы и параллельность?
Да. Угол определяется взаимным расположением лучей, а движение сохраняет расстояния, по которым можно восстановить его величину. Параллельные прямые также переходят в параллельные, поскольку сохраняются прямолинейность и расстояния между точками.
Является ли последовательное выполнение двух движений движением?
Да. Если сначала выполнить одно движение, а затем другое, расстояние между образами любой пары точек останется прежним. Полученное преобразование называется произведением движений и само является движением.
38 4. Общие свойства движений
