38.5. О распространении движения на пространство

Определения и обозначения

Движение пространства — взаимно однозначное отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, после преобразования расстояние между образами точек остаётся таким же, как между исходными точками. Это условие позволяет говорить о сохранении формы и размеров пространственных фигур.

Продолжение движения плоскости на пространство — движение всего пространства, которое на выбранной плоскости совпадает с заданным движением этой плоскости. Значит, для точек выбранной плоскости новое преобразование не меняет уже заданные образы. Это понятие нужно, чтобы распространить плоское преобразование на точки, не лежащие в плоскости.

Образ точки при движении — точка, в которую переходит исходная точка. Если точки A и B переходят в A′ и B′, то расстояние A′B′ равно AB. Образы помогают описывать преобразование и проверять, сохраняет ли оно расстояния.

Неподвижная плоскость — плоскость, каждая точка которой при рассматриваемом движении остаётся на месте. Это не то же самое, что плоскость, которая переходит в себя: во втором случае точки могут переместиться внутри неё. Различие важно, когда устанавливают, какие именно точки преобразование оставляет неподвижными.

Как это устроено

Движение плоскости сообщает, куда переходят точки только этой плоскости. Точка вне неё не участвует в заданном преобразовании, поэтому её образ нельзя определить лишь по известным образам точек плоскости. Для продолжения нужно добавить правило, связывающее такую точку с точками плоскости. Удобно использовать её перпендикулярную проекцию и расстояние до плоскости.

Пусть задана точка P вне плоскости α. Опустим из неё перпендикуляр на α и обозначим основание через H; тогда PH — расстояние от P до плоскости. При движении f плоскости точка H переходит в H′, а сама плоскость — в плоскость α′. На перпендикуляре к α′ через H′ отложим расстояние, равное PH, и получим образ P′. Сторону, на которой строится P′, выбирают по заранее установленному правилу.

Почему это построение сохраняет расстояния? Для точек P и Q обозначим их проекции на α через H и K, а их высоты над плоскостью — через h₁ и h₂. Перпендикулярные составляющие и отрезок HK образуют прямоугольную схему, поэтому PQ² = HK² + (h₁ − h₂)². Движение плоскости сохраняет HK, а при едином выборе стороны высоты сохраняются либо обе, либо обе меняют знак, так что квадрат их разности не меняется.

Одно и то же движение плоскости допускает два правила выбора стороны. Можно переносить каждую точку на ту же сторону образа плоскости, на которой она находилась относительно исходной, или переносить её на противоположную сторону. Оба правила дают продолжения, сохраняющие расстояния, но образы точек вне плоскости в них различаются. Сторону нужно выбирать единообразно для всего пространства, а не независимо для каждой точки.

Чтобы убедиться, что построение задаёт движение пространства, проверяют не только расстояния. При выбранном правиле у каждой точки есть ровно один образ: определены и образ проекции, и сторона, и расстояние от образа плоскости. Обратное построение также возможно, поскольку плоское движение обратимо, а перенесённое расстояние до плоскости известно. Значит, отображение взаимно однозначно и охватывает всё пространство.

Движение плоскости и его продолжение на пространство

Таблица сопоставляет преобразование на исходной плоскости и способ его распространения на пространство. Сравнивая строки, проследите, что именно задано плоским движением, а что добавляется для точек вне плоскости. При построении образа сначала используйте проекцию, затем учитывайте расстояние до плоскости и выбранную сторону.

Разбор задач

Построение образа точки

Условие. Задано движение плоскости α и точка P вне неё. Нужно описать построение образа P при продолжении движения. Здесь предполагается, что правило выбора стороны от плоскости уже установлено. Сначала найдём данные, которые плоское движение действительно позволяет преобразовать.

1. Опустим из P перпендикуляр PH на α и обозначим основание через H. Длина PH — расстояние от P до исходной плоскости. Она понадобится при построении образа.
2. Найдём образ H′ точки H при заданном движении плоскости. Через H′ проведём перпендикуляр к образу плоскости α′. Это прямая, на которой должен лежать образ P.
3. Отложим на этой прямой отрезок длины PH в соответствии с выбранным правилом стороны. Полученная точка P′ и есть образ P: её проекция равна H′, а расстояние до α′ равно PH.

Ответ. Образ P строится на перпендикуляре к образу плоскости через образ основания H; расстояние от P′ до α′ равно PH. Если правило стороны не задано, возможны два положения P′, по разные стороны от α′.

Проверка сохранения расстояния

Условие. При заданном продолжении движения построены образы двух точек P и Q. Требуется обосновать, что PQ не меняется. Пусть их проекции на исходную плоскость — H и K, а высоты — h₁ и h₂. Сравним составляющие расстояния до и после преобразования.

1. По теореме Пифагора PQ² = HK² + (h₁ − h₂)²: одна составляющая лежит в плоскости, другая направлена перпендикулярно к ней. Такой разбор учитывает не только расстояния от точек до плоскости, но и разность их высот.
2. Образы H′ и K′ получены движением плоскости, поэтому H′K′ = HK. При едином выборе стороны высоты обе точки переносятся по одному правилу: их высоты сохраняются либо обе меняют знак.
3. Следовательно, квадрат разности высот после преобразования равен (h₁ − h₂)², а расстояние между проекциями осталось HK. По той же формуле квадрат расстояния между образами равен исходному PQ².

Ответ. Расстояние между образами равно расстоянию между исходными точками, поскольку обе составляющие формулы для квадрата расстояния сохраняются. Так рассуждение работает для любой пары точек.

Два продолжения одного движения

Условие. Для одного движения плоскости нужно построить два разных продолжения на пространство и объяснить различие. Плоское преобразование и образ плоскости α′ в обоих случаях одни и те же. Различается только правило переноса точек, не лежащих в α.

1. В первом варианте для каждой точки P построим образ P′ на той же стороне от α′, на которой P находилась относительно α. Основание перпендикуляра переносим плоским движением, а расстояние до плоскости сохраняем.
2. Во втором варианте используем тот же образ основания и ту же высоту, но помещаем P′ на противоположную сторону от α′. Для всех точек применяем именно это правило, не смешивая его с первым.
3. На самой плоскости высота равна нулю, поэтому оба продолжения совпадают с заданным движением. Для точки вне плоскости полученные образы оказываются по разные стороны α′; каждое правило сохраняет расстояния и задаёт взаимно однозначное отображение.

Ответ. Два продолжения отличаются выбором стороны образа плоскости для точек вне неё. В обоих случаях расстояния до плоскости остаются прежними, но образы таких точек различны.

Типичные ошибки

Считать, что движение плоскости уже определяет образы точек вне неё. Так могут рассуждать, потому что плоскость видится частью пространства. Но заданное преобразование сообщает образы только её точек. Проверьте себя: если проекция точки известна, спросите, задано ли отдельно, где окажется сама точка и по какую сторону от образа плоскости.

Не сохранять расстояние точки до плоскости. Иногда достаточно, как кажется, перенести проекцию, а высоту можно выбрать произвольно. Тогда меняются составляющие расстояний между точками, и отображение может перестать быть движением. Проверка проста: для каждой точки сравните её расстояние до исходной плоскости с расстоянием образа до образа плоскости.

Переносить высоты без учёта стороны. Ошибка возникает, когда длину перпендикуляра считают достаточной и не различают, где расположена точка. Из-за этого можно смешать два допустимых продолжения или менять правило от точки к точке. Перед построением зафиксируйте единый выбор: та же или противоположная сторона для всего пространства.

Доказывать только сохранение расстояний. Это свойство необходимо, но само по себе не подтверждает, что все точки пространства получают образы и что пространство отображается на себя. Иногда взаимную однозначность забывают, потому что сосредоточиваются на теореме Пифагора. Завершая доказательство, проверьте, что образ каждой точки единственен и что построение можно обратить.

Связь с другими темами

Для построения продолжения понадобятся определение движения плоскости, перпендикулярная проекция и расстояние от точки до плоскости. Без проекции нельзя перенести точку по заданному плоскому движению, а без расстояния — восстановить её положение вне плоскости. Тема связывает планиметрические преобразования с движениями пространства: один и тот же подход помогает понять пространственные симметрии и равенство фигур. Поэтому точная работа с проекциями здесь дополняет уже знакомые свойства плоских движений.

Что запомнить

• Движение пространства сохраняет расстояния между любыми точками.
• Движение плоскости задаёт образы только точек этой плоскости.
• Для продолжения движения на пространство учитывают расстояние точки до исходной плоскости.
• При продолжении сохраняют расстояния от точек до плоскости.
• У одного движения плоскости могут быть разные продолжения на пространство.
• Построение продолжения должно задавать взаимно однозначное отображение всего пространства.