40.3. Два рода движений

Определения и обозначения

Движение плоскости — взаимно однозначное преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, каждой точке соответствует ровно один образ, а длины отрезков не меняются. Это определение позволяет отличить движение от преобразований, которые растягивают или сжимают фигуры. При этом оно ещё не говорит, сохраняется ли ориентация.

Ориентация тройки точек — порядок обхода вершин невырожденного треугольника: по часовой стрелке или против неё. Тройка невырождена, если три точки не лежат на одной прямой. Ориентация нужна, чтобы точно описать, меняет ли преобразование «сторону» обхода, а не просто положение фигуры. Для вырожденной тройки такой способ сравнения неприменим.

Движение первого рода сохраняет ориентацию любой тройки точек. Если обойти вершины исходного треугольника, а затем его образа в соответствующем порядке, направление обхода останется прежним. Так выделяют движения, которые не переворачивают плоскость. К этому роду относятся, например, поворот и параллельный перенос.

Движение второго рода меняет ориентацию любой тройки точек на противоположную. Иначе говоря, обход образа идёт в обратном направлении по сравнению с исходной тройкой. Это определение выделяет преобразования, которые сохраняют размеры фигур, но переворачивают их ориентацию. Типичный пример такого движения — отражение.

Как это устроено

Возьмём невырожденный треугольник и обозначим его вершины A, B и C, а их образы — A′, B′ и C′. Поскольку движение сохраняет расстояния, длины соответствующих сторон равны: AB = A′B′, BC = B′C′ и CA = C′A′. По трём сторонам эти треугольники равны, поэтому у них совпадают форма и размеры. Следовательно, движение не может превратить треугольник в растянутую или сжатую фигуру, хотя может расположить его иначе.

Чтобы узнать род движения, сравнивают направление обхода A, B, C и направление обхода A′, B′, C′. Если, например, обе тройки обходятся против часовой стрелки, ориентация сохранена; если вторая обходится по часовой, ориентация изменилась. Сравнивать нужно соответствующие образы именно в том порядке, в каком заданы исходные точки. Это превращает визуальное впечатление от фигуры в чёткую проверку.

Почему нельзя получить разные ответы для разных треугольников при одном и том же движении? Любые две невырожденные тройки задают треугольники, а движение сохраняет длины их соответствующих сторон. Его действие на плоскость согласовано: оно не может для одной тройки перевернуть обход, а для другой сохранить его. Поэтому ориентация меняется либо у всех троек, либо ни у одной, и род движения определяется однозначно.

При отражении точки переходят на противоположную сторону оси, а соответствующие вершины меняют порядок обхода. Расстояния при этом сохраняются: отражённые отрезки равны исходным, поэтому отражение является движением второго рода. Поворот и параллельный перенос, напротив, перемещают фигуру без такого переворота: вершины обходятся в прежнем направлении. Значит, оба преобразования относятся к первому роду.

При последовательном выполнении двух движений результат зависит от того, сколько раз меняется ориентация. Движение первого рода её не меняет, а второго меняет на противоположную; два переворота возвращают исходное направление обхода. Поэтому композиция двух движений одного рода имеет первый род, а композиция движений разных родов — второй. Это правило позволяет определить результат композиции, не рассматривая отдельно образы всех точек.

Движения первого и второго рода

При пользовании таблицей сначала проверьте, что преобразование сохраняет расстояния: без этого оно не является движением. Затем определите изменение ориентации по образам невырожденной тройки. Для композиции достаточно установить род каждого движения и применить последнее правило.

Разбор задач

Задача 1. Параллельный перенос

Определить род параллельного переноса и обосновать ответ на примере трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой. Нужно сравнить ориентацию исходной и образованной троек. Обозначим образы точек через A′, B′ и C′. Проверка на такой тройке возможна, потому что она образует невырожденный треугольник.

1. Переносит каждую точку на один и тот же вектор, поэтому стороны AB, BC и CA переходят соответственно в равные им и параллельные отрезки.
2. Такой сдвиг не меняет взаимное расположение вершин: если обходить A, B, C в одном направлении, то A′, B′, C′ обходятся в том же направлении.
3. Следовательно, ориентация тройки сохраняется, а перенос относится к первому роду.

Ответ: параллельный перенос — движение первого рода.

Задача 2. Поворот и отражение

Определить род композиции поворота и отражения, не строя образ каждой точки по отдельности. Порядок выполнения этих движений не меняет правила подсчёта: нужно учитывать, сколько преобразований сохраняют ориентацию, а сколько обращают её. Поворот имеет первый род, отражение — второй. Поэтому можно рассуждать о композиции по родам её частей.

1. Поворот сохраняет ориентацию, значит, сам по себе не меняет направление обхода тройки.
2. Отражение меняет ориентацию на противоположную.
3. В композиции происходит одно изменение ориентации, поэтому итоговое движение имеет второй род.

Ответ: композиция поворота и отражения — движение второго рода.

Задача 3. Композиция меняет ориентацию

Известно, что композиция двух движений меняет ориентацию. Могут ли оба движения быть одного рода? Решать задачу удобно, перечислив все сочетания: каждое движение либо сохраняет ориентацию, либо меняет её. Два одинаковых действия с ориентацией взаимно компенсируются или вовсе не меняют её. Поэтому изменение результата требует ровно одного движения второго рода.

1. Если оба движения первого рода, ни одно не обращает ориентацию, и композиция её сохраняет.
2. Если оба движения второго рода, ориентация меняется дважды и в итоге сохраняется.
3. Если одно движение первого рода, а другое второго, происходит одно обращение, поэтому композиция меняет ориентацию.

Ответ: оба движения не могут быть одного рода; одно должно быть первого рода, другое — второго.

Типичные ошибки

Считать, что любое движение сохраняет ориентацию, неверно: отражение сохраняет расстояния, но меняет порядок обхода вершин. Такую ошибку допускают, смешивая определение движения с его дополнительными свойствами. Для проверки возьмите треугольник и проследите, в каком направлении обходятся его вершины после отражения. Длины сторон останутся прежними, а направление обхода станет противоположным.

Определять род по тому, переместилась ли фигура «влево» или «вправо», нельзя: направление перемещения зависит от расположения фигуры и выбранного взгляда. Род характеризует изменение ориентации, а не движение относительно наблюдателя. Ошибку помогает заметить проверка на трёх соответствующих вершинах. Сравните их порядок обхода до и после преобразования.

Сохранение расстояний и сохранение ориентации — разные свойства. Первое отвечает на вопрос о длинах отрезков, второе — о направлении обхода тройки точек; отражение показывает, что одно возможно без другого. Их путают, потому что оба свойства относятся к поведению фигур при преобразовании. Проверяйте их отдельно: сравните длины и отдельно установите ориентацию образа.

Нельзя определять род по трём точкам на одной прямой: такая тройка не образует треугольник и не задаёт направление обхода его вершин. Ошибка возникает, если учитывать только число точек, забывая об условии невырожденности. Выберите три точки, не лежащие на одной прямой, и сравните полученные треугольники. Если выбранная тройка вырождена, проверку нужно провести заново.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение движения и умение устанавливать равенство треугольников. Именно равенство сторон показывает, почему движение сохраняет форму, а не только отдельные длины. Понятие ориентации связывает геометрию с порядком обхода вершин. Без невырожденного треугольника такой порядок сравнить нельзя.

Разделение на два рода опирается на свойства отражения, поворота и параллельного переноса. Эти преобразования служат наглядными примерами того, как движение может сохранять или менять ориентацию. Позже правило родов помогает разбирать композиции преобразований. Оно также используется при классификации движений плоскости.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между точками.
• Движение первого рода сохраняет ориентацию.
• Движение второго рода меняет ориентацию на противоположную.
• Параллельный перенос и поворот — движения первого рода.
• Отражение — движение второго рода.
• Композиция движений одного рода — первого рода; разных родов — второго.