40.2. Основные теоремы о задании движений пространства

Определения и обозначения

Движение пространства — взаимно однозначное преобразование пространства, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, после преобразования фигуры могут изменить положение, но не длины и не форму. Это определение позволяет доказывать свойства образов точек, не зная формулы движения.

Неплоские четыре точки — четыре точки, не лежащие в одной плоскости; они являются вершинами невырожденного тетраэдра. Если бы точки лежали в плоскости, они не задавали бы объёмное положение. Неплоская четвёрка нужна, чтобы однозначно определить движение всего пространства.

Соответствующие вершины — пары вершин двух тетраэдров, которые сопоставляются друг другу при движении. Например, если A переходит в A′, B — в B′, то эти пары соответствующие. Такое сопоставление важно: сравнивать нужно именно те рёбра, концы которых переходят друг в друга.

Равные тетраэдры — тетраэдры, у которых равны длины всех шести пар соответствующих рёбер. В тетраэдре шесть рёбер, поэтому проверка касается каждой пары, а не только трёх рёбер, сходящихся в одной вершине. Это условие позволяет установить, что один тетраэдр можно перевести в другой движением.

Как это устроено

Пусть заданы четыре неподвижные неплоские точки и расстояния от произвольной точки X до каждой из них. Эти данные позволяют найти положение X: поверхности, состоящие из точек на заданном расстоянии от каждой опорной точки, являются сферами. Уравнения сфер можно попарно вычесть, и тогда квадратичные члены сокращаются, оставляя три линейных условия на координаты X. Поскольку центры сфер не лежат в одной плоскости, эти условия определяют единственное положение точки.

Если движение уже известно на четырёх неплоских точках, то расстояния от любой точки X до них сохраняются. Значит, образ X должен находиться на заданных расстояниях от образов этих четырёх точек. По предыдущему рассуждению такое положение только одно. Поэтому любые два движения с одинаковыми образами четырёх неплоских точек совпадают на каждой точке пространства, то есть движение однозначно определяется этими образами.

Рассмотрим два тетраэдра и сопоставим их вершины. Равенство шести пар соответствующих рёбер означает, что совпадают все расстояния между вершинами, а не только расстояния от одной выбранной вершины. Поэтому можно перенести один тетраэдр так, чтобы его вершины оказались на местах вершин второго, сохранив взаимное расположение и все длины. Теорема о равных тетраэдрах утверждает, что такое движение пространства существует.

Идея существования состоит в том, чтобы сначала совместить тетраэдры движением, а затем проверить расстояния. Удобно выбрать вершину первого тетраэдра и перенести её в соответствующую вершину второго, после чего совместить направления рёбер, выходящих из неё. Равенство длин этих рёбер и попарных расстояний между их концами обеспечивает нужное положение остальных вершин. Поскольку равны все шесть рёбер, после переноса совпадают и все расстояния между четырьмя вершинами.

Четвёртая точка не может быть просто ещё одной точкой в плоскости первых трёх. Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость, а отражение пространства относительно этой плоскости оставляет все точки плоскости на месте. Поэтому три заданных образа могут соответствовать и самому движению, и его композиции с таким отражением: точки вне плоскости будут иметь разные образы. Неплоская четвёртая точка исключает эту неоднозначность.

Задание движения пространства четырьмя точками

Сначала определите, какая ситуация дана: уже известное движение, пара тетраэдров или только три образа. Затем проверьте соответствующее условие: неплоскость четырёх точек либо равенство всех шести рёбер. В выводе различайте утверждение, что движение существует, и утверждение, что оно единственно.

Разбор задач

Задача 1

Движение переводит точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости, соответственно в A′, B′, C′, D′. Докажите, что оно единственно. Нужно показать, что не могут существовать два разных движения с такими же образами указанных точек. Условие о неплоскости позволяет применить теорему об однозначном задании.

1. Предположим, что существуют два движения с одинаковыми образами A, B, C и D. Для любой точки X расстояния от X до этих четырёх точек сохраняются каждым движением.
2. Значит, образ X при каждом движении находится на одинаковых расстояниях от A′, B′, C′ и D′. Эти четыре точки также неплоские, поскольку движение сохраняет расположение точек.
3. Поэтому положение образа X определяется однозначно, и оба движения переводят X в одну точку. Это верно для любой X, значит, движения совпадают.

Ответ: движение единственно.

Задача 2

У двух тетраэдров равны длины всех соответствующих рёбер. Докажите, что существует движение, переводящее вершины первого тетраэдра в соответствующие вершины второго. Главная проверка здесь уже содержится в условии: оно должно охватывать все шесть пар рёбер. После этого применяется теорема о равных тетраэдрах.

1. Обозначим вершины тетраэдров A, B, C, D и A′, B′, C′, D′. Условие означает равенство длин AB и A′B′, AC и A′C′, AD и A′D′.
2. Кроме того, равны длины BC и B′C′, BD и B′D′, CD и C′D′. Таким образом, проверены все шесть пар соответствующих рёбер.
3. Следовательно, тетраэдры равны по определению. По теореме о равных тетраэдрах существует движение, которое переводит каждую вершину первого в соответствующую вершину второго.

Ответ: такое движение существует.

Задача 3

Движение переводит вершины тетраэдра ABCD в вершины A′B′C′D′. Найдите образ точки X, если известны её расстояния до A, B, C и D. Численные значения расстояний и координаты здесь не заданы, поэтому ответ выражается условием, которое однозначно определяет образ. Достаточно перенести каждое расстояние вместе с соответствующей вершиной.

1. Обозначим искомый образ точки X через X′. Так как движение сохраняет расстояния, AX = A′X′, BX = B′X′, CX = C′X′ и DX = D′X′.
2. Рассмотрим сферы с центрами A′, B′, C′ и D′ и радиусами AX, BX, CX и DX соответственно. Точка X′ должна лежать на каждой из этих сфер.
3. Вершины A′, B′, C′, D′ неплоские, поэтому точка с заданными расстояниями до них определяется единственно. Пересечение сфер содержит искомую точку X′ и не может содержать другую такую точку.

Ответ: образ X — единственная точка X′, для которой A′X′ = AX, B′X′ = BX, C′X′ = CX и D′X′ = DX.

Типичные ошибки

• Считать, что любые три точки однозначно задают движение. Ошибка возникает из-за переноса привычной идеи о задании положения фигуры на плоскости: в пространстве можно отразить всё относительно плоскости трёх точек. Проверяйте, указаны ли четыре точки вне одной плоскости.
• Проверять равенство только трёх рёбер тетраэдров. Этих данных недостаточно, потому что оставшиеся рёбра могут иметь другие длины. Чтобы проверить применение теоремы, перечислите все шесть пар рёбер и сопоставьте их концы.
• Путать существование движения с его единственностью. Равенство тетраэдров гарантирует, что подходящее движение есть, но само по себе не отвечает на вопрос, единственное ли оно. Перед выводом уточните, требуется найти движение или доказать, что никакого второго варианта нет.
• Забывать условие, что четыре точки не лежат в одной плоскости. Иногда считают, что достаточно просто назвать четыре точки, хотя плоская четвёрка не устраняет неоднозначность. Проверьте условие неплоскости до применения теоремы; если оно не выполнено, вывод об однозначности не обоснован.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать определение движения пространства и его основное свойство: сохранение расстояний. Рассуждение также опирается на свойства тетраэдра и признаки равенства фигур по соответствующим расстояниям, включая проверку всех его рёбер. Позже эти теоремы помогут изучать симметрии пространства и доказывать равенство пространственных фигур. В таких задачах сначала устанавливают соответствие точек, а затем проверяют, что нужные расстояния совпадают.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми точками.
• Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, однозначно задают движение своими образами.
• Три точки сами по себе не задают движение пространства однозначно.
• Равенство всех соответствующих рёбер двух тетраэдров гарантирует существование движения между ними.
• Для тетраэдра нужно проверить равенство шести пар соответствующих рёбер.