40.1. Неподвижные точки движений пространства

Определения и обозначения

Движение пространства — взаимно однозначное преобразование пространства, сохраняющее расстояния между любыми точками. Иначе говоря, если точки A и B переходят в A′ и B′, то AB = A′B′. Это свойство позволяет рассуждать о положении образов точек, не вычисляя их координаты.

Неподвижная точка движения — точка, которая при преобразовании переходит в себя. Если движение обозначено f, то для неподвижной точки A выполняется f(A) = A. Определение помогает отличить точку, которая действительно не переместилась, от точки, лишь перешедшей в соседнее место.

Множество неподвижных точек — все точки пространства, остающиеся на месте при данном движении; это множество может быть пустым. Например, при переносе на ненулевой вектор ни одна точка не сохраняет своё положение. Рассматривая всё множество, а не одну точку, можно описать характер движения.

Тождественное движение — движение, при котором каждая точка пространства неподвижна. Оно оставляет фигуры и все точки на прежних местах, то есть ничего фактически не меняет. Это крайний случай, когда множество неподвижных точек совпадает со всем пространством.

Как это устроено

Предположим, две точки A и B неподвижны, а точка X переходит в X′. Так как движение сохраняет расстояния, AX = AX′ и BX = BX′. Значит, X и X′ одновременно принадлежат двум сферам с центрами A и B; обычно пересечение этих сфер является окружностью в плоскости, перпендикулярной AB. Поэтому двух фиксированных точек недостаточно, чтобы однозначно определить образ X: возможны разные точки на этой окружности.

Три неподвижные точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, задают плоскость. Расстояния от X до A, B и C сохраняются, но в пространстве эти три расстояния обычно допускают два положения: по разные стороны плоскости ABC, симметричные относительно неё. Именно поэтому отражение в плоскости ABC фиксирует A, B и C, но перемещает точки вне плоскости. Следовательно, утверждение, что любые три неколлинеарные неподвижные точки гарантируют тождественность движения, неверно.

Если же зафиксированы четыре точки, не лежащие в одной плоскости, расстояния до них однозначно определяют положение любой точки X. Действительно, возможное положение образа должно иметь те же расстояния до всех четырёх точек; пересечения соответствующих сфер не оставляют второй точки, отражённой относительно одной общей плоскости. Значит, образ каждой X совпадает с X, и движение тождественно. Здесь важно условие о четырёх точках вне одной плоскости.

При отражении относительно плоскости каждая точка плоскости остаётся на месте: она равноудалена от самой себя, а её образ совпадает с ней. Точки вне плоскости отражаются на другую сторону, поэтому их положение меняется. У поворота вокруг прямой аналогично неподвижна ось: поворот перемещает точки вокруг неё, тогда как точки на оси не имеют смещения.

У центральной симметрии точка O является центром преобразования и переходит в себя, а любая другая точка переносится на противоположную сторону от O. При ненулевом параллельном переносе каждая точка смещается на один и тот же ненулевой вектор, поэтому вернуться в исходное положение не может. В результате множество неподвижных точек может быть пустым, состоять из одной точки, быть прямой или плоскостью, а в тождественном случае — всем пространством.

Примеры движений и их неподвижные точки

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите вид движения, а затем найдите указанную фигуру или проверьте, что перемещение ненулевое. Уточняйте, что речь идёт именно о точках, переходящих в себя, а не об объекте, который лишь переходит в себя как целое. Для конкретного преобразования можно проверить вывод, проследив, куда переходит произвольная точка.

Разбор задач

Задача 1. Назовите неподвижные точки отражения относительно заданной плоскости.

Нужно проверить, какие точки при отражении не меняют положения. Отражение устроено так, что плоскость служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом. Точка, уже лежащая в плоскости, совпадает со своим образом.

1. Возьмём произвольную точку плоскости отражения.
2. При отражении она не удаляется от плоскости и не меняет положение, значит, переходит в себя.
3. Точка вне плоскости отражается на противоположную сторону и потому не является неподвижной.

Ответ: все точки плоскости отражения.

Задача 2. Определите множество неподвижных точек поворота пространства вокруг заданной прямой на ненулевой угол.

Поворот происходит вокруг указанной прямой, поэтому сначала следует проверить её точки, а затем точки вне неё. У точки на оси расстояние до оси равно нулю, и поворот не сдвигает её с места. Точка вне оси описывает окружность вокруг неё и при ненулевом угле меняет положение.

1. Обозначим заданную прямую через l и возьмём на ней точку A.
2. По определению поворота вокруг l точка A сохраняет своё положение.
3. Если точка не лежит на l, её поворот на ненулевой угол даёт другую точку окружности, поэтому она не неподвижна.

Ответ: прямая l, то есть ось поворота.

Задача 3. Движение пространства сохраняет три неколлинеарные точки. Докажите, что оно тождественное.

Такое утверждение в общем случае доказать нельзя: в условии недостаточно данных. Три неколлинеарные точки лежат в одной плоскости, и отражение относительно этой плоскости сохраняет каждую из них, но перемещает точки вне плоскости. Поэтому правильный ход решения — проверить, верно ли само утверждение, прежде чем строить доказательство.

1. Пусть A, B и C — заданные неподвижные точки, не лежащие на одной прямой; они определяют плоскость α.
2. Рассмотрим отражение относительно α. Оно является движением и оставляет A, B и C на месте.
3. Выберем точку X вне α. Её образ при отражении лежит по другую сторону α, поэтому образ не совпадает с X.
4. Получили движение, фиксирующее три заданные точки, но не являющееся тождественным. Значит, исходное утверждение опровергнуто.

Ответ: утверждение неверно. Для доказательства тождественности можно добавить условие о четырёх неподвижных точках, не лежащих в одной плоскости: расстояния до них однозначно определяют положение любой точки пространства.

Типичные ошибки

Называть неподвижными точки, которые лишь переходят в другие точки той же плоскости или прямой, — ошибка: при движении точка должна перейти именно в себя. Её допускают, смешивая неподвижность множества и его отдельных элементов. Проверка проста: проследите образ конкретной точки, а не только убедитесь, что он остался на том же объекте.

Считать, что неподвижные точки есть у любого движения, неверно: ненулевой параллельный перенос смещает каждую точку. Часто это предположение возникает из привычки искать точку пересечения или центр преобразования. Проверьте, равен ли вектор переноса нулю: если нет, неподвижных точек не будет.

Утверждение, что двух неподвижных точек достаточно для тождественности, также неверно: поворот вокруг прямой, проходящей через эти точки, фиксирует их, но перемещает остальные. Это путают с тем, что две точки задают прямую. Чтобы проверить вывод, рассмотрите известные движения, сохраняющие эти точки, и проверьте их действие на произвольную точку.

Наконец, нельзя подменять три неколлинеарные точки четырьмя точками вне одной плоскости: отражение в плоскости трёх точек фиксирует их, но не всё пространство. Ошибка возникает из-за неверного представления, будто три расстояния всегда однозначно задают точку в пространстве. Проверяйте возможность двух положений по разные стороны плоскости; для гарантии тождественности используйте четыре неподвижные точки, некомпланарные.

Связь с другими темами

Для изучения неподвижных точек нужно знать определение движения и его главное свойство — сохранение расстояний. Рассуждения используют свойства прямых, плоскостей, окружностей и сфер, а также вопрос о том, сколько расстояний задают положение точки в пространстве. Важно учитывать, что расстояния до трёх неколлинеарных точек могут соответствовать двум точкам, симметричным относительно их плоскости. Тема помогает анализировать виды движений и преобразования симметрии.

Что запомнить

• Неподвижная точка переходит сама в себя.
• У отражения неподвижна плоскость отражения.
• У поворота вокруг прямой неподвижна его ось.
• У центральной симметрии неподвижен её центр.
• Ненулевой параллельный перенос не имеет неподвижных точек.
• Три неколлинеарные неподвижные точки не гарантируют тождественности: отражение в их плоскости служит контрпримером.