"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Движение пространства сохраняет расстояния между любыми точками, поэтому переводит фигуры в равные им. Чтобы однозначно определить такое преобразование, достаточно знать, куда переходят четыре точки, не лежащие в одной плоскости: они образуют невырожденный тетраэдр и фиксируют положение любой точки пространства. При этом образы вершин должны составлять равный тетраэдр. Разберём, почему четырёх точек хватает, а трёх — нет, и как применять эту теорему в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение пространства — взаимно однозначное преобразование пространства, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, если точки A и B переходят в A′ и B′, то AB = A′B′. Это определение позволяет судить о движении по тому, что происходит с расстояниями, а не по внешнему виду преобразования.
Неподвижная точка движения — точка, которая при данном движении переходит сама в себя. У одного движения может быть одна или несколько неподвижных точек, а может не быть ни одной. Это понятие помогает описывать особенности преобразования: например, отражение оставляет на месте точки своей плоскости.
Четыре точки общего положения — четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Они являются вершинами невырожденного тетраэдра, то есть фигуры с объёмом, и могут служить для задания движения. Условие неплоскостности нужно, чтобы четыре точки фиксировали положение не только в плоскости, но и в пространстве.
При движении сохраняется расстояние между каждой парой точек, поэтому сохраняются и все рёбра тетраэдра. Если его вершины A, B, C, D переходят в A′, B′, C′, D′, то равны все шесть пар соответствующих рёбер. Следовательно, исходный тетраэдр и тетраэдр образов равны. Именно поэтому проверка движения для этих вершин сводится к сравнению рёбер.
Если образы четырёх вершин образуют равный тетраэдр, существует движение, которое переводит каждую вершину в соответствующую. У равных тетраэдров совпадают длины соответствующих рёбер, а значит, совпадает и геометрическая форма, включая взаимное расположение вершин. Твёрдое перемещение с возможным отражением может совместить одну фигуру с другой. После этого каждая вершина окажется в назначенном ей образе.
Почему такое соответствие определяет движение во всём пространстве? Возьмём любую точку X: движение должно перевести её в точку, находящуюся на известных расстояниях от образов A′, B′, C′ и D′. Эти четыре расстояния равны расстояниям от X до исходных вершин. Точка с заданными расстояниями до четырёх вершин невырожденного тетраэдра может быть только одна: три расстояния обычно оставляют два положения по разные стороны плоскости, а четвёртое выбирает нужную сторону.
Отсюда следует единственность. Если два движения переводят четыре точки общего положения в одни и те же образы, то образ любой точки X при каждом движении находится на одинаковых расстояниях от четырёх образов вершин. Поскольку эти расстояния определяют положение однозначно, оба движения переводят X в одну и ту же точку. Это верно для любой X, значит, движения совпадают во всём пространстве.
Трёх неколлинеарных точек для такого вывода не хватает: они лежат в одной плоскости. Отражение относительно этой плоскости оставляет их на месте, хотя точки вне плоскости перемещает. Поэтому можно получить два разных движения с одинаковыми образами трёх точек. Теорема о задании движения гласит: движение пространства однозначно определяется образами четырёх точек, не лежащих в одной плоскости, если соответствующие тетраэдры равны.
| Заданные точки | Достаточно ли для однозначного задания | Обоснование |
|---|---|---|
| Одна точка | Нет | Можно вращать пространство вокруг неподвижной точки или перемещать её фиксированным образом разными способами. |
| Две различные точки | Нет | После задания их образов остаётся возможность вращения вокруг прямой, проходящей через эти точки. |
| Три неколлинеарные точки | Нет | Отражение относительно плоскости этих точек сохраняет их, но меняет положение других точек. |
| Четыре точки, не лежащие в одной плоскости | Да, если тетраэдры равны | Четыре вершины определяют положение любой точки по её расстояниям до них. |
В таблице важно различать два вопроса: достаточно ли данных для единственности и существует ли движение с заданными образами. Четыре точки дают однозначность только при условии, что исходный и образный тетраэдры равны. Для меньшего числа точек можно найти преобразования, сохраняющие заданные образы, но по-разному действующие на остальные точки.
Задача 1. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости, и их образы A′, B′, C′, D′. Известны длины рёбер обоих тетраэдров; нужно установить, существует ли движение, переводящее каждую точку в соответствующую. Смысл проверки — выяснить, совпадает ли форма тетраэдров с учётом того, какая вершина какой соответствует.
Составим пары соответствующих рёбер: AB и A′B′, AC и A′C′, AD и A′D′, BC и B′C′, BD и B′D′, CD и C′D′. Сравним длины в каждой паре. Проверить только три ребра недостаточно: остальные могут оказаться другой длины.
Если все шесть пар равны, тетраэдры равны. По теореме о задании движения существует движение, совмещающее их соответствующие вершины. Если хотя бы одна пара длин не совпадает, движение невозможно, поскольку оно изменило бы расстояние между двумя точками.
Ответ: движение существует тогда и только тогда, когда равны все шесть пар соответствующих рёбер.
Задача 2. Могут ли два различных движения переводить три неколлинеарные точки A, B, C в одни и те же точки A′, B′, C′? Проверим не только поведение трёх заданных точек, но и возможное действие на остальных точках пространства. Плоскость A′B′C′ позволит построить второй вариант преобразования.
Предположим, одно подходящее движение уже задано. После него точки A, B, C оказались в A′, B′, C′, которые не лежат на одной прямой и определяют плоскость.
Теперь выполним отражение относительно плоскости A′B′C′. Все три образа останутся на месте, потому что лежат в плоскости отражения. Точки вне неё изменят положение, поэтому составленное движение будет отличаться от первого.
Ответ: да, могут; отражение относительно плоскости образов даёт другое движение с теми же образами трёх точек.
Задача 3. Докажите, что два движения пространства, совпадающие на четырёх точках, не лежащих в одной плоскости, совпадают на всём пространстве. Чтобы доказать равенство преобразований, сравним их действие на произвольной точке, а не только на заданных вершинах. Опорой будут расстояния, которые любое движение сохраняет.
Обозначим заданные точки A, B, C, D, а произвольную точку — X. По условию оба движения одинаково переводят A, B, C, D в соответствующие образы. Поэтому образ точки X при каждом движении имеет одни и те же расстояния до этих четырёх образов.
Четыре точки-образа не лежат в одной плоскости, поскольку движение сохраняет расстояния и переводит невырожденный тетраэдр в равный ему. Расстояния до вершин такого тетраэдра определяют положение точки однозначно. Значит, оба движения переводят X в одну точку.
Ответ: образы произвольной точки совпадают, следовательно, два движения совпадают во всём пространстве.
Считать, что трёх неколлинеарных точек всегда достаточно. Так думают, потому что три точки однозначно задают плоскость, но по другую сторону этой плоскости сохраняется возможность отражения. Для проверки постройте отражение относительно плоскости трёх точек и сравните, что происходит с точками вне неё.
Забывать, что четыре задающие точки не должны лежать в одной плоскости. Четыре точки на плоскости тоже фиксируют много расстояний, однако отражение относительно этой плоскости оставляет их на месте. Проверьте, образуют ли они тетраэдр с ненулевым объёмом.
Проверять равенство только нескольких рёбер тетраэдров. Несколько совпавших длин ещё не гарантируют совпадения всех пар, особенно если вершины сопоставлены не так, как предполагается. Составьте список всех шести соответствующих рёбер и сравните каждую пару.
Путать сохранение расстояний с сохранением ориентации. Иногда кажется, что движение обязано сохранять «сторону» или направление, но отражение тоже сохраняет расстояния. Чтобы проверить рассуждение, вспомните, что отражение меняет ориентацию, оставаясь движением.
Для этой темы нужны определение движения как преобразования, сохраняющего расстояния, признаки равенства треугольников и свойства тетраэдра. Они помогают понять, почему равенство длин рёбер достаточно для сравнения тетраэдров и почему образы заданных точек должны сохранять расстояния. Теорема о задании движения применяется при изучении симметрий и преобразований пространства. Ею также пользуются, когда доказывают равенство пространственных фигур по соответствующим элементам.
Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
При движении тетраэдр переходит в равный ему тетраэдр.
Для задания движения достаточно указать образы четырёх точек, не лежащих в одной плоскости.
Два движения, совпадающие на четырёх точках общего положения, совпадают во всём пространстве.
Трёх неколлинеарных точек для однозначного задания движения недостаточно.
Для существования движения, переводящего вершины одного тетраэдра в соответствующие вершины другого, тетраэдры должны быть равны.
Почему для задания движения пространства нужны именно четыре точки?
Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, задают невырожденный тетраэдр. Расстояния до его четырёх вершин однозначно определяют положение любой точки, поэтому заданные образы вершин фиксируют движение во всём пространстве.
Обязательно ли четырём задающим точкам не лежать в одной плоскости?
Да, это условие необходимо для однозначности. Если все четыре точки лежат в плоскости, отражение относительно неё оставляет их на месте, но меняет положение точек вне плоскости.
Почему трёх неколлинеарных точек недостаточно?
Три неколлинеарные точки задают плоскость. Отражение относительно этой плоскости оставляет все три точки неподвижными, но отличается от тождественного движения для точек вне плоскости.
Какие условия должны выполняться для образов четырёх точек, чтобы движение существовало?
Образы должны быть вершинами тетраэдра, равного исходному. Иными словами, должны совпадать длины всех шести пар соответствующих рёбер.
Может ли движение пространства менять ориентацию?
Да. Например, отражение относительно плоскости сохраняет расстояния, но меняет ориентацию пространства. Поэтому сохранение расстояний не означает сохранения ориентации.
§ 40. Теоремы о задании движений пространства
