41.4. Движения второго рода, не имеющие неподвижных точек, как скользящие отражения

Определения и обозначения

Движение второго рода — изометрия плоскости, меняющая ориентацию фигур; изометрия сохраняет расстояния между точками, а отражение служит простым примером такого движения. Понятие нужно, чтобы отличать преобразования, переворачивающие фигуру, от движений, сохраняющих её ориентацию.

Неподвижная точка движения — точка, которая при преобразовании переходит сама в себя. Проверка на наличие таких точек помогает различать виды движений: например, у обычного отражения неподвижны точки его оси.

Скользящее отражение — композиция отражения относительно прямой и ненулевого переноса вдоль этой прямой. Иными словами, фигуру отражают, а затем сдвигают по направлению самой оси; ненулевой сдвиг отличает это движение от обычного отражения.

Ось скользящего отражения — прямая, относительно которой выполняется отражение и вдоль которой производится перенос. Она сохраняется как прямая, хотя её отдельные точки перемещаются; знание оси позволяет описать преобразование геометрически.

Как это устроено

Отражение сохраняет расстояния, потому что каждой точке и её образу соответствует симметричное положение относительно прямой. Перенос тоже сохраняет расстояния: все точки смещаются на один и тот же вектор. Поэтому их композиция остаётся движением, а ориентация меняется из-за отражения: перенос сам по себе ориентацию не переворачивает.

На оси отражения точки при одном только отражении остаются на месте. Но перенос вдоль оси смещает каждую из них на один и тот же ненулевой вектор, поэтому ни одна не может совпасть со своим образом. Для точки вне оси отражение меняет её положение на противоположную сторону, а перенос вдоль прямой не устраняет это поперечное отличие; значит, неподвижных точек нет вообще.

Скользящее отражение можно выполнять в любом порядке: сначала отразить, потом перенести или сначала перенести, потом отразить. Причина в том, что перенос направлен вдоль оси, а отражение не меняет координату вдоль неё. Поэтому оба порядка дают один результат, что удобно и для рассуждений, и для вычисления координат.

Если известны координатные формулы, ось и скольжение часто находятся сразу: координата вдоль оси изменяется на постоянную величину, а перпендикулярная координата отражается относительно оси. В геометрической задаче можно использовать соответствие нескольких точек и их образов, чтобы восстановить движение, а затем выделить прямую отражения и вектор переноса. Для наклонной оси рассуждение такое же, только удобнее мысленно выбрать координаты вдоль неё и перпендикулярно ей.

Любое движение второго рода плоскости без неподвижных точек является скользящим отражением. Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить у движения прямую отражения: после отражения остаётся перенос, а отсутствие неподвижных точек исключает нулевой сдвиг и сдвиг поперёк этой прямой. В результате остаётся ненулевой перенос вдоль оси, то есть скользящее отражение.

Отражение и скользящее отражение

Сравнивайте прежде всего поведение точек оси и наличие неподвижных точек: эти признаки сразу отделяют два преобразования. Если перенос вдоль оси равен нулю, скользящее отражение вырождается в обычное отражение.

Разбор задач

1. Отражение относительно Ox и перенос

Отразить относительно Ox, а затем перенести на вектор (3; 0). Найти образы A(−1; 2) и B(2; −1), а также проверить наличие неподвижных точек.

1. При отражении относительно Ox координаты меняются по правилу (x; y) → (x; −y), а затем перенос прибавляет 3 к x.
2. Для A: (−1; 2) → (−1; −2) → (2; −2). Для B: (2; −1) → (2; 1) → (5; 1).
3. Так как перенос ненулевой и направлен вдоль Ox, точки оси также сдвигаются на 3. Точки вне оси не могут стать неподвижными после отражения и продольного сдвига.

Ответ: A' (2; −2), B' (5; 1); неподвижных точек нет.

2. Распознавание по формулам

Движение задано формулами x' = x + 2, y' = −y. Определить вид преобразования, ось и величину скольжения.

1. Формула y' = −y меняет знак координаты, перпендикулярной Ox, поэтому это отражение относительно Ox.
2. Формула x' = x + 2 добавляет постоянное число к координате вдоль Ox. Значит, после отражения выполняется перенос на вектор (2; 0).
3. Число 2 отлично от нуля, поэтому преобразование является скользящим отражением. Длина вектора переноса равна 2.

Ответ: скользящее отражение с осью Ox и скольжением 2 в положительном направлении Ox.

3. Наклонная по координатам не нужна: параллельная Ox ось

Доказать, что x' = x + 4, y' = 2 − y задаёт скользящее отражение, и найти его ось.

1. При отражении относительно горизонтальной прямой y = c ордината меняется по правилу y' = 2c − y. Сравнение с y' = 2 − y даёт c = 1, значит, прямая отражения — y = 1.
2. Координата x увеличивается на 4, то есть выполняется перенос вдоль этой горизонтальной прямой на вектор (4; 0).
3. Следовательно, заданное преобразование — отражение относительно y = 1 с последующим ненулевым переносом вдоль неё. Ненулевой сдвиг исключает неподвижные точки.

Ответ: скользящее отражение с осью y = 1 и вектором скольжения (4; 0); неподвижных точек нет.

Типичные ошибки

Считать любое отражение скользящим — значит забыть обязательное условие: перенос вдоль оси должен быть ненулевым. Путают эти понятия, потому что в обоих названиях есть слово «отражение». Проверьте величину сдвига: при нулевом переносе получается обычное отражение с неподвижными точками на оси.

Искать неподвижную точку на оси, не учитывая перенос, неверно: отражение оставило бы её на месте, но скольжение затем сдвигает её. Ошибка возникает, если рассматривать только первый этап композиции. Для проверки примените обе операции к точке оси: её координата вдоль прямой изменится на ненулевую величину.

Перенос поперёк оси нельзя называть скольжением вдоль неё. Иногда путают направление вектора с самой прямой отражения, хотя для определения скользящего отражения они должны быть параллельны. Сверьте компоненты вектора с направлением оси; если они перпендикулярны, стандартного скользящего отражения в такой записи нет.

Движение второго рода без неподвижных точек не может быть обычным отражением. У обычного отражения каждая точка оси неподвижна, поэтому оно сразу противоречит условию задачи. Проверка проста: сначала выясните, есть ли у преобразования неподвижные точки, и только затем выбирайте его вид.

Связь с другими темами

Для изучения скользящего отражения нужны понятия движения плоскости, изометрии, отражения, переноса и неподвижной точки. Изометрия объясняет, почему расстояния не меняются, а координатные формулы позволяют быстро выделить отражение и сдвиг. Тема продолжает классификацию движений плоскости и пригодится при изучении симметрий фигур. Она также помогает решать координатные задачи, где преобразование задано образами точек или формулами.

Что запомнить

• Скользящее отражение меняет ориентацию фигуры.
• Оно состоит из отражения относительно прямой и ненулевого переноса вдоль этой прямой.
• Ось скользящего отражения сохраняется как прямая, но её точки сдвигаются.
• Скользящее отражение не имеет неподвижных точек.
• При нулевом переносе получается обычное отражение.
• Любое движение второго рода без неподвижных точек является скользящим отражением.