41.3. Движения второго рода, имеющие неподвижную точку, как зеркальные повороты

Определения и обозначения

Движение второго рода — преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками и меняющее ориентацию. Для сравнения: движение первого рода тоже сохраняет расстояния, но ориентацию не меняет, как обычный поворот. Это различие помогает понять, почему зеркальный поворот нельзя считать просто поворотом.

Неподвижная точка движения — точка, которая при преобразовании переходит в себя. Её удобно выбрать началом координат, чтобы описывать движение относительно неё, а не отслеживать перемещение всей системы. В рассматриваемой теме такая точка позволяет свести описание движения к преобразованию векторов.

Зеркальный поворот — движение, полученное сочетанием поворота вокруг оси и отражения относительно плоскости, перпендикулярной этой оси. Поворот меняет положение точек вокруг оси, а отражение обращает координату в направлении оси. Вместе эти действия сохраняют расстояния, но меняют ориентацию.

Ось зеркального поворота — прямая, вокруг которой выполняется поворот и которая перпендикулярна плоскости отражения. Она задаёт направление вращения и направление координаты, знак которой меняется при отражении. Поэтому выбор оси сразу помогает записать преобразование в координатах.

Как это устроено

Пусть движение имеет неподвижную точку O. Если принять O за начало координат, то образ точки задаётся линейным преобразованием её радиус-вектора: дополнительный перенос не нужен, потому что начало остаётся на месте. Поскольку исходное движение сохраняет расстояния, линейная часть сохраняет длины векторов и углы между ними. Такое преобразование называют ортогональным.

Ортогональное преобразование может сохранять или менять ориентацию. В первом случае его определитель равен 1, а во втором — −1: знак определителя показывает, остаётся ли ориентированная система координат прежней или становится противоположно ориентированной. У движения второго рода ориентация меняется, поэтому определитель его линейной части равен −1. Именно этим оно отличается от поворота, у которого определитель равен 1.

В пространстве у ортогонального преобразования с определителем −1 есть направление, которое при преобразовании меняет знак. Перпендикулярная ему плоскость остаётся инвариантной, то есть её точки переходят в эту же плоскость. На плоскости преобразование действует как обычный поворот: длины и углы сохраняются, а направление вращения задаётся выбранным углом. Значит, пространство можно разделить на плоскость поворота и перпендикулярное ей направление.

Выберем ось z перпендикулярной плоскости поворота. Поворот на угол φ меняет координаты x и y по формулам x′ = x cos φ − y sin φ и y′ = x sin φ + y cos φ, а координату z оставляет прежней. Затем отражение в плоскости xy оставляет x и y без изменения, но заменяет z на −z. Поэтому для зеркального поворота итоговые координаты равны x′ = x cos φ − y sin φ, y′ = x sin φ + y cos φ, z′ = −z.

Такое разложение показывает, почему движение второго рода с неподвижной точкой является зеркальным поворотом. При φ ≠ 0 точка остаётся неподвижной только тогда, когда z = 0 и поворот в плоскости xy также оставляет её на месте; это возможно лишь для начала координат. Если φ = 0, координаты x и y не меняются, а z меняет знак. Тогда преобразование становится отражением в плоскости xy, и неподвижны все точки этой плоскости.

Составляющие зеркального поворота и их действие

Таблица разделяет поворот и отражение, чтобы было легче проследить вклад каждой операции. При чтении последней пары строк обратите внимание на угол: именно его значение определяет, останется ли неподвижной только центральная точка или целая плоскость. Для координатного решения сначала применяйте формулы поворота, затем правило отражения.

Разбор задач

Запись преобразования по оси и углу

Условие. Начало координат — неподвижная точка, ось z — ось зеркального поворота. Записать преобразование при повороте на угол φ и последующем отражении в плоскости xy. Сначала нужно определить, какие координаты затрагивает каждое действие. Плоскость xy перпендикулярна оси z.

1. Поворот вокруг оси z происходит в плоскости xy, поэтому используем формулы поворота: x₁ = x cos φ − y sin φ и y₁ = x sin φ + y cos φ. Координата вдоль оси при повороте не меняется, значит z₁ = z. Эти формулы сохраняют расстояние от точки до оси.

2. При отражении в плоскости xy координаты x и y сохраняются, потому что точка отражается перпендикулярно этой плоскости. Координата z меняет знак. Поэтому после второго действия x′ = x₁, y′ = y₁, z′ = −z₁.

3. Подставим результаты первого действия во второе: x′ = x cos φ − y sin φ, y′ = x sin φ + y cos φ, z′ = −z. Порядок действий указан в условии, поэтому отражение применяется к уже повёрнутой точке. При этой конкретной оси поворот не меняет z, так что итоговая смена знака координаты остаётся той же.

Ответ: x′ = x cos φ − y sin φ, y′ = x sin φ + y cos φ, z′ = −z.

Определение вида преобразования по формулам

Условие. Движение задано формулами x′ = −y, y′ = x, z′ = −z. Нужно определить его вид, ось и угол зеркального поворота. Чтобы распознать преобразование, отдельно рассмотрим координаты в плоскости xy и координату z. Такой подход позволяет увидеть составляющие движения, не подбирая их наугад.

1. Пара формул x′ = −y, y′ = x совпадает с поворотом в плоскости xy на угол π/2. Например, точка с координатами (1, 0) переходит в (0, 1), то есть поворачивается на четверть полного оборота. Перпендикуляром к плоскости xy является ось z.

2. Формула z′ = −z означает, что координата вдоль оси z меняет знак, а координаты в плоскости отражения не менялись бы при одном только отражении. Это отражение в плоскости xy. Следовательно, исходное преобразование сочетает поворот вокруг z и отражение относительно перпендикулярной этой оси плоскости.

3. Поскольку присутствуют и поворот, и отражение, преобразование является зеркальным поворотом второго рода. Его ось — ось z, а угол поворота равен π/2. Отражение меняет ориентацию, поэтому наличие поворотной части не превращает всё преобразование в движение первого рода.

Ответ: зеркальный поворот вокруг оси z на угол π/2 с отражением в плоскости xy.

Обоснование представления

Условие. Доказать, что ортогональное преобразование пространства с определителем −1 и неподвижной точкой представимо как зеркальный поворот. Неподвижную точку выберем началом координат, после чего преобразование задаётся линейной частью. Нужно выделить направление, где меняется знак, и плоскость, на которой остаётся поворот.

1. У ортогональной матрицы собственные значения по модулю равны 1. В трёхмерном пространстве действительные собственные значения могут быть только 1 или −1, а недействительные появляются парой комплексно-сопряжённых значений. Поскольку произведение собственных значений равно определителю −1, среди них должно быть собственное значение −1.

2. Выберем единичный вектор, отвечающий собственному значению −1, за направление оси. В перпендикулярной ему плоскости действие преобразования ортогонально и имеет определитель 1, потому что общий определитель равен −1, а вдоль оси знак меняется. Ортогональное преобразование плоскости с определителем 1 является поворотом на некоторый угол φ.

3. Получается, что в выбранной системе координат преобразование поворачивает плоскость вокруг оси и одновременно меняет знак координаты вдоль неё. Последнее действие равносильно отражению относительно перпендикулярной оси плоскости. Значит, исходное движение и есть зеркальный поворот; переход от начала координат обратно к неподвижной точке задаёт его положение в пространстве.

Ответ: преобразование разлагается на поворот в перпендикулярной оси плоскости и отражение вдоль оси, то есть является зеркальным поворотом.

Типичные ошибки

• Считать зеркальный поворот обычным поворотом — значит забыть про отражение. Так ошибаются, заметив вращение, но не проверив, что происходит с ориентацией системы координат. Проверьте знак определителя: у поворота он равен 1, а у зеркального поворота — −1.

• Отражать относительно плоскости, содержащей ось поворота, неверно для описанного разложения. Путаница возникает потому, что в бытовых примерах ось и плоскость симметрии могут задаваться по-разному. Проверьте геометрию: здесь плоскость отражения должна быть перпендикулярна оси.

• Менять знак координаты в плоскости поворота — значит выбрать не то направление для отражения. Ошибку часто допускают, не связывая координатную формулу с геометрическим положением плоскости. Если плоскость отражения xy, координаты x и y сохраняются, а знак меняет z.

• Утверждать, что неподвижна только одна точка при любом угле, нельзя. Такое заключение верно лишь при ненулевом угле поворота; при нулевом остаётся одно отражение. Подставьте φ = 0 в формулы: координаты x и y не меняются, поэтому неподвижна вся плоскость xy.

Связь с другими темами

Для изучения зеркального поворота нужны понятия движения пространства, ориентации, ортогонального преобразования, поворота и отражения. Ортогональность объясняет сохранение длин и углов, а определитель помогает отличить движения первого рода от движений второго рода. Представление движения через линейное преобразование относительно неподвижной точки пригодится при классификации движений пространства. Оно также помогает разбирать композиции преобразований: последовательное применение движений можно анализировать по их составляющим.

Что запомнить

• Движение второго рода меняет ориентацию пространства.
• Неподвижная точка позволяет рассматривать движение как ортогональное преобразование относительно этой точки.
• Зеркальный поворот состоит из поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной ей плоскости.
• Линейная часть движения второго рода имеет определитель −1.
• При ненулевом угле зеркального поворота неподвижной остаётся только его центр.
• При нулевом угле зеркальный поворот сводится к отражению в плоскости.