41.2. Движения первого рода как винтовые движения

Определения и обозначения

Движение пространства — преобразование, при котором расстояние между любой парой точек не меняется. Поэтому любая фигура после такого преобразования сохраняет форму и размеры, хотя может переместиться или повернуться. Это определение позволяет отличить движение от деформации.

Движение первого рода — движение, сохраняющее ориентацию пространства. Оно не меняет правую систему координат на левую, в отличие от движения второго рода, например отражения. Различие нужно учитывать, чтобы не спутать поворот с зеркальным преобразованием.

Винтовое движение — движение, которое складывается из поворота вокруг прямой и переноса вдоль той же прямой. Оно сочетает вращение и поступательное перемещение. Такая модель описывает движение точек пространства без изменения расстояний между ними.

Ось винтового движения — прямая, вокруг которой выполняется поворот и вдоль которой происходит перенос. Она задаёт и направление вращения, и направление сдвига. По оси удобно описывать, какая часть движения является поворотом, а какая — переносом.

Как это устроено

Движение пространства можно записать как действие линейного преобразования и последующего сдвига: x′ = Ax + b. Здесь A сохраняет длины и углы, а b задаёт перенос. Если движение сохраняет ориентацию, линейная часть A является поворотом, а не отражением с поворотом, поэтому преобразование не меняет «правую» ориентацию фигур.

У поворота пространства есть направление, которое остаётся неизменным: вектор вдоль него после действия A не меняется. Для поворота на ненулевой угол это направление можно представить как ось, но пока известно только её направление, а не положение в пространстве. Чтобы построить ось всего движения, нужно также учесть сдвиг b.

При ненулевом угле поворота сдвиг можно разделить на две части: параллельную неизменному направлению и перпендикулярную ему. Первая становится переносом вдоль оси. Вторую можно компенсировать выбором положения оси: подходящая прямая смещается так, чтобы поворот вокруг неё вместе с осевым переносом дал исходное преобразование. Поэтому движение представимо как винтовое.

Если угол поворота равен нулю, линейная часть не вращает пространство, и преобразование становится параллельным переносом. Никакой выделенной прямой вращения тогда нет: перенос задаёт направление, но прямых, параллельных этому направлению, бесконечно много. Представление через поворот вырождается, поэтому у переноса не появляется единственная ось.

Частные случаи следуют из того, какие параметры равны нулю. Если перенос вдоль оси равен нулю, остаётся поворот вокруг неё. Если нулевы и угол, и перенос, каждая точка остаётся на месте — это тождественное движение. Таким образом, поворот и тождественное преобразование входят в описание движений первого рода как частные случаи.

Частные случаи движения первого рода

Сопоставляйте сначала угол поворота, а затем перенос вдоль оси: так проще определить тип движения. При нулевом угле запись через ось становится условной, поскольку единственная ось не задаётся.

Разбор задач

Задача 1. Точка переходит из (1; 0; 0) в (0; 1; 0), направление оси задано вектором (0; 0; 1). Найти угол поворота вокруг оси. Обе точки лежат в плоскости z = 0, перпендикулярной оси.

1. Проекция первой точки на плоскость перпендикулярна оси и совпадает с радиус-вектором (1; 0; 0). Его длина равна 1, поэтому точка лежит на единичной окружности вокруг оси. Это позволяет определить угол по двум радиус-векторам.

2. Радиус-вектор образует с положительным направлением x угол 0°. Вектор конечной точки (0; 1; 0) образует угол 90°. Значит, при движении от первой точки ко второй поворот происходит на 90° в положительном направлении вокруг оси z.

Ответ: 90° против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

Задача 2. Движение задано формулами x′ = −y + 1, y′ = x, z′ = z + 2. Представить его как винтовое движение и найти ось, угол и перенос. Сначала отделим поворот от сдвига.

1. Формулы x′ = −y, y′ = x задают поворот на 90° вокруг направления z. Формула z′ = z + 2 показывает сдвиг на 2 вдоль этого направления. Дополнительное слагаемое 1 в x′ сдвигает поворотную ось поперёк неё.

2. Ищем неподвижную точку оси в плоскости xy: потребуем x = −y + 1 и y = x. Подстановка даёт x = −x + 1, то есть x = ½ и y = ½. Поэтому ось проходит через (½; ½; 0) и параллельна оси z.

3. Координата z увеличивается на 2, поэтому перенос вдоль найденной оси равен 2 в положительном направлении z. Вместе с поворотом на 90° это полностью описывает исходные формулы. Все точки оси перемещаются вдоль неё на 2.

Ответ: винтовое движение с осью x = y = ½, углом 90° и переносом на 2 вдоль положительного направления z.

Задача 3. Движение задано формулами x′ = x + 3, y′ = y − 4, z′ = z. Определить его вид и выяснить, есть ли у него единственная ось. Здесь координаты каждой точки изменяются на одни и те же величины.

1. Прибавление постоянного вектора (3; −4; 0) к координатам всех точек — это параллельный перенос. Линейная часть преобразования не меняет ни одного направления и соответствует нулевому углу поворота. Длина вектора переноса равна 5.

2. Вектор переноса задаёт направление перемещения, но не выделяет одну прямую: осью могли бы называться разные прямые, параллельные этому вектору. Поскольку поворота нет, условие о повороте вокруг оси ничего не выбирает. Поэтому считать перенос винтовым движением с единственной осью нельзя.

Ответ: параллельный перенос на вектор (3; −4; 0); единственной оси у него нет.

Типичные ошибки

• Неверно считать, что у любого движения первого рода есть неподвижные точки. Так думают, перенося свойства обычного поворота на все движения этого класса. В винтовом движении с ненулевым переносом точки оси тоже сдвигаются, поэтому неподвижных точек может не быть; проверьте, остаются ли координаты хотя бы одной точки прежними.

• Ось иногда путают с прямой, параллельной ей. Путаница возникает потому, что направление оси и направление переноса совпадают. Но поворот происходит именно вокруг оси, а не вокруг любой параллельной прямой; проверяйте, меняются ли точки вокруг выбранной прямой.

• Переносу приписывают однозначную ось, принимая направление сдвига за саму прямую. Однако направление задаёт множество параллельных прямых, а нулевой угол не выбирает среди них одну. Проверьте, есть ли в формулах ненулевая поворотная часть: если её нет, единственная ось не определяется.

• Поворот называют движением второго рода, потому что его путают с отражением. Отражение действительно меняет ориентацию, но поворот не меняет порядок направлений. Для проверки проследите, превращается ли правая система координат в левую: при повороте этого не происходит.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать определение движения пространства, сохраняющего расстояния, и различать прямые и обратные движения: это позволяет понять, почему поворот относится к движениям первого рода, а отражение — ко второму. Винтовое движение опирается на два уже знакомых преобразования — поворот вокруг оси и параллельный перенос. Его описание одной осью помогает анализировать преобразования пространства и пространственную симметрию.

Что запомнить

• Движение первого рода сохраняет ориентацию пространства.
• При ненулевом угле поворота движение первого рода представляется как винтовое.
• В винтовом движении поворот и перенос выполняются вокруг и вдоль одной оси.
• Если перенос вдоль оси равен нулю, винтовое движение становится поворотом.
• При нулевом угле поворота получается параллельный перенос.
• Тождественное движение — частный случай движения первого рода.