41.1. Композиции отражений в плоскости

Определения и обозначения

Отражение относительно прямой, или осевая симметрия, — преобразование плоскости, при котором прямая служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Иными словами, точка и её образ находятся по разные стороны от оси на одинаковом расстоянии от неё. Точки самой оси при отражении остаются на месте. Это определение помогает строить образ точки и проверять правильность построения.

Композиция отражений — последовательное выполнение двух отражений. Если сначала выполняют отражение относительно прямой a, а затем относительно прямой b, результат обозначают, соблюдая именно эту очередность. Образ после первого шага становится точкой, к которой применяют второе отражение. Указание порядка нужно, поскольку перестановка действий обычно меняет итоговое преобразование.

Поворот — преобразование вокруг заданного центра на заданный угол. При композиции отражений относительно пересекающихся прямых центром поворота служит точка пересечения этих прямых. Все точки при таком движении поворачиваются вокруг общего центра на один и тот же угол. Поэтому для описания результата достаточно указать центр, угол и его направление.

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки смещаются на один и тот же вектор, то есть на одинаковое расстояние и в одном направлении. При отражениях относительно различных параллельных прямых вектор переноса перпендикулярен этим прямым. Его длина и направление определяются расстоянием между осями и порядком отражений. Это позволяет описать результат, не рассматривая каждую точку отдельно.

Как это устроено

Чтобы найти образ точки при композиции, сначала построй её отражение относительно первой прямой, а потом отрази полученную точку относительно второй. На каждом шаге точка и её образ лежат на перпендикуляре к соответствующей оси и равноудалены от неё. Поэтому важно не перескакивать сразу к итоговому образу: промежуточная точка задаёт второе отражение. Порядок в записи композиции и порядок построения должны совпадать.

Пусть оси пересекаются в точке O. Отражения оставляют O на месте, потому что эта точка принадлежит обеим осям. Кроме того, каждое отражение сохраняет расстояние, поэтому расстояние от O до точки после двух отражений равно исходному расстоянию. Точка поворачивается вокруг O: её расстояние до центра не меняется, а направление изменяется на удвоенный направленный угол от первой оси ко второй. Удвоение возникает потому, что последовательные отражения складывают изменения направления, связанные с обеими осями.

Если оси параллельны, общей точки, которая могла бы стать центром поворота, нет. Рассмотрим точку и проведём через неё перпендикуляр к осям: отражение переносит её на такую же величину по другую сторону первой оси, а второе отражение — по другую сторону второй. В результате точка оказывается на прежней прямой, параллельной осям, но смещается вдоль перпендикуляра к ним. Два одинаковых смещения складываются, поэтому длина переноса вдвое больше расстояния между осями.

Если оси совпадают, первая операция переводит точку на другую сторону общей прямой на такое же расстояние. Второе отражение выполняется относительно той же прямой и возвращает точку обратно. Поэтому итог совпадает с исходным положением каждой точки, а композиция является тождественным преобразованием. Тождественное преобразование ничего не изменяет.

Порядок отражений влияет на направление результата, потому что при перестановке меняется, какая ось считается первой, а какая второй. Для пересекающихся прямых направленный угол от первой оси ко второй заменяется углом противоположного направления. Для параллельных осей смена порядка меняет направление переноса, хотя его длина остаётся прежней. Значит, в задаче нужно фиксировать порядок до вычисления угла или вектора.

Результат композиции двух отражений

Сначала найди в таблице строку, соответствующую расположению осей, а затем используй указанные параметры. Для поворота нужно определить центр и направленный угол, для переноса — направление и длину вектора. В каждом случае учитывай, какая ось используется первой.

Разбор задач

Задача 1

Две прямые пересекаются под углом 35°. Опишите композицию отражений относительно них и укажите угол поворота. Порядок отражений не уточнён, поэтому угол следует связывать с направленным углом между осями. Центр результата находится в точке их пересечения.

1. Обозначим точку пересечения прямых через O. Поскольку оси пересекаются, результат двух отражений является поворотом вокруг O.
2. Модуль направленного угла между прямыми равен 35°. При двух отражениях изменение направления удваивается, поэтому модуль угла поворота равен 2 · 35° = 70°.
3. Если сначала отражать относительно первой прямой, а затем относительно второй, направление поворота задаётся направленным углом от первой оси ко второй. При обратном порядке направление будет противоположным.

Ответ: поворот с центром в точке пересечения прямых на 70°; направление зависит от порядка отражений.

Задача 2

Параллельные прямые находятся на расстоянии 4 см. Найдите, каким преобразованием является композиция отражений относительно них, и на какое расстояние переместится точка. Расстояние между прямыми не меняется при выборе конкретной точки, поэтому результат можно определить по общему правилу. Направление перемещения зависит от очередности отражений.

1. Оси параллельны и различны, следовательно, композиция является параллельным переносом, а не поворотом.
2. Длина вектора переноса вдвое больше расстояния между осями: 2 · 4 = 8 см.
3. Вектор направлен перпендикулярно прямым. При смене порядка отражений направление этого вектора обращается, но его длина остаётся 8 см.

Ответ: параллельный перенос на 8 см перпендикулярно прямым.

Задача 3

Прямые a и b пересекаются в точке O. Точка A после отражения относительно a переходит в A₁, а после отражения относительно b — в A₂. По чертежу определите центр и направленный угол поворота, переводящего A в A₂; сравните результат с композицией в обратном порядке. Чертёж задаёт, в какую сторону направлен переход от оси a к оси b. Его нельзя заменять просто неориентированным углом между прямыми.

1. Поскольку прямые пересекаются в O, композиция отражений является поворотом с центром O. Это центр для образа любой точки, в том числе A.
2. Определи на чертеже направленный угол от прямой a к прямой b. Угол поворота от A к A₂ равен удвоенному этому углу: если направленный угол между осями равен α, то поворот имеет угол 2α.
3. При обратном порядке сначала отражают относительно b, а затем относительно a. Направленный угол между осями меняет знак, поэтому получается поворот вокруг того же O на угол −2α.

Ответ: центр поворота — O, направленный угол — удвоенный направленный угол от a к b; в обратном порядке направление поворота противоположное. Численное значение угла берут с чертежа.

Типичные ошибки

Угол поворота иногда принимают равным углу между осями, забывая об удвоении. Так ошибаются, потому что представляют лишь одно изменение направления, хотя в композиции выполняются два отражения. Проверь себя: для угла между осями 35° результат должен иметь угол поворота 70°. Учитывай также направленность угла, если важна сторона поворота.

Композицию относительно параллельных осей иногда называют поворотом по аналогии со случаем пересекающихся прямых. Но параллельные оси не имеют точки пересечения, которая могла бы стать центром такого поворота, а итоговое смещение одинаково для всех точек. Проверь взаимное расположение прямых: если они параллельны и различны, записывай перенос. Его направление должно быть перпендикулярно осям.

Ещё одна ошибка — указывать длину переноса равной расстоянию между осями или направлять перенос вдоль них. Каждое отражение смещает точку на расстояние между осями по перпендикуляру, поэтому два смещения дают удвоенную длину. Проверка: при расстоянии 4 см точка перемещается на 8 см. При обратном порядке отражений длина сохраняется, но направление вектора меняется.

Нельзя без проверки менять отражения местами и считать результат прежним. Такой вывод возникает, если помнить вид преобразования, но упускать его направление: угол поворота или вектор переноса зависит от порядка. Сначала подпиши первую и вторую оси, а затем определи направленный угол или сторону смещения. Если оси совпадают, это особый случай: результат не меняется при перестановке и остаётся тождественным преобразованием.

Связь с другими темами

Для изучения композиции нужны понятия отражения относительно прямой, угла между прямыми, поворота и параллельного переноса. Отражение помогает построить образы точек, а направленный угол позволяет не путать направления поворота. Понятия движений плоскости объединяют эти преобразования и дают язык для описания изменения положения фигур. Поэтому композиции отражений пригодятся при изучении симметрий фигур и классификации преобразований.

Что запомнить

• Композиция означает последовательное выполнение преобразований в заданном порядке.
• Два отражения относительно пересекающихся прямых дают поворот вокруг их точки пересечения.
• Угол такого поворота равен удвоенному направленному углу между осями.
• Два отражения относительно различных параллельных прямых дают перенос.
• Длина переноса равна удвоенному расстоянию между параллельными осями.
• Два отражения относительно одной и той же прямой дают тождественное преобразование.