§ 41. Классификация движений

Определения и обозначения

Движение — отображение плоскости, при котором расстояние между любой парой точек не меняется. Если образами точек A и B стали A′ и B′, то AB = A′B′; поэтому сохраняются длины сторон и углы треугольников, а фигуры остаются равными по форме и размеру. Это определение позволяет отличать движение от произвольного перемещения, которое может растянуть или исказить фигуру.

Прямое движение сохраняет ориентацию, то есть направление обхода вершин. Например, если обойти треугольник сначала от A к B, затем к C и обратно к A, то после прямого движения соответствующие вершины обходятся в том же направлении. Термин нужен, чтобы отделить преобразования без «переворачивания» фигуры от отражений.

Обратное движение меняет ориентацию: обход треугольника после преобразования идёт в противоположном направлении. Так происходит при зеркальном отражении: расстояния сохраняются, но правая и левая стороны меняются местами. Это помогает понять, почему равенство фигур само по себе ещё не означает сохранения ориентации.

Скользящая симметрия — композиция осевой симметрии и переноса вдоль её оси на ненулевой вектор. Сначала можно отразить точку, затем сдвинуть её вдоль оси, или выполнить те же действия в обратном порядке: результат будет тем же. Это понятие описывает движение, в котором отражение сочетается со сдвигом.

Как это устроено

Сохранение расстояний резко ограничивает возможное положение точек. Образы двух различных точек задают отрезок той же длины, что и исходный; каждая другая точка должна перейти в точку, находящуюся на заданных расстояниях от образов обоих концов. В общем случае таких положений не больше двух: по разные стороны от прямой, содержащей образ отрезка. Если закрепить образы ещё одной точки вне этой прямой, выбор стороны становится определённым, и этим объясняется, почему движение не может произвольно менять части фигуры.

Для классификации смотрят не на длины, а на ориентацию. Возьмём треугольник и обойдём его вершины в порядке A–B–C; после преобразования сравним порядок обхода соответствующих вершин. Если направление осталось прежним, движение прямое, а если стало противоположным — обратное. Поэтому перенос и поворот относятся к прямым движениям, а отражение — к обратным, хотя все они сохраняют расстояния.

Чтобы понять виды прямых движений, рассмотрим неподвижные точки — точки, которые переходят сами в себя. Если неподвижны все точки, преобразование тождественное. Если неподвижна одна точка, движение является поворотом вокруг неё; если неподвижных точек нет, прямое движение оказывается переносом. Причина в том, что после фиксации одной точки расстояния до неё ограничивают движение окружностями, а сохранение ориентации не позволяет выполнить отражение.

Обратное движение можно разобрать по наличию неподвижных точек. Если они есть, то неподвижные точки лежат на прямой, а движение является отражением относительно этой прямой — осевой симметрией. Если неподвижных точек нет, после отражения точки смещаются вдоль оси; получается скользящая симметрия. Перпендикулярный сдвиг к оси не даёт отдельного случая: его можно включить в положение оси отражения.

Так получается полная классификация плоских движений: тождественное преобразование, перенос, поворот, осевая симметрия и скользящая симметрия. Для проверки ориентации удобно помнить правило композиции: два прямых движения вместе сохраняют ориентацию, как и два обратных; сочетание прямого и обратного её меняет. Это следует из того, что каждое обратное преобразование один раз меняет направление обхода, а два таких изменения взаимно компенсируются. Значит, классификация охватывает не только отдельные преобразования, но и их сочетания.

Классификация движений плоскости

Сначала найдите неподвижные точки или проверьте, одинаково ли смещаются точки: это часто сразу определяет вид движения. Затем посмотрите на ориентацию, чтобы разделить прямые и обратные движения. Для тождественного преобразования, которое можно считать переносом на нулевой вектор, неподвижны все точки.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид движения, если каждая точка фигуры смещается на один и тот же вектор. Здесь важно выяснить не только, что фигура переместилась, но и одинаково ли изменилось положение каждой её точки. Например, для всех точек X выполняется XX′ = v, где направление и длина вектора v постоянны. Это условие совпадает с определением переноса.

1. Сопоставим каждой точке X её образ X′.
2. По условию векторы XX′ одинаковы для всех точек, то есть ни направление, ни длина смещения не зависят от X.
3. Преобразование, которое сдвигает все точки на один вектор, называется переносом. Если этот вектор нулевой, получается частный случай — тождественное преобразование.

Ответ: перенос на заданный вектор; при нулевом векторе — тождественное преобразование. Проверка проста: у поворота векторы смещения разных точек обычно различны, потому что точки движутся вокруг центра. Равенство векторов смещения для всех точек указывает именно на перенос.

Задача 2. Треугольник ABC переходит в A′B′C′, соответствующие расстояния сохраняются, а ориентация не меняется. Нужно определить возможные виды движения. Условие о расстояниях подтверждает, что преобразование — движение, а условие об ориентации сразу исключает осевую и скользящую симметрии. После этого остаётся выяснить, есть ли неподвижные точки.

1. Так как ориентация треугольника не изменилась, движение прямое.
2. Если все вершины остались на месте и так же преобразуются остальные точки плоскости, это тождественное преобразование.
3. Если неподвижна одна точка, движение является поворотом вокруг неё; если неподвижных точек нет, это перенос.

Ответ: возможны тождественное преобразование, поворот или перенос. Одних сведений о треугольнике может быть недостаточно, чтобы выбрать один вариант: для этого надо знать, какие точки неподвижны или как именно смещаются вершины. Например, неизменность всех трёх вершин означает тождественное преобразование, а не просто любой поворот.

Задача 3. Точки плоскости отражают относительно прямой, а затем сдвигают на ненулевой вектор вдоль этой прямой. Требуется классифицировать движение и определить, возможны ли неподвижные точки. В условии уже заданы две операции: отражение и перенос по направлению оси отражения. Значит, нужно сопоставить их композицию с определением и проверить, может ли какая-либо точка вернуться на исходное место.

1. Отражение относительно прямой меняет ориентацию, а перенос вдоль неё ориентацию не меняет.
2. Композиция этих преобразований называется скользящей симметрией. Ненулевой сдвиг — существенная часть определения; при нулевом сдвиге осталось бы обычное отражение.
3. Точки оси при отражении остаются на оси, но затем сдвигаются на ненулевую величину. Точки вне оси после отражения оказываются по другую сторону оси, поэтому перенос вдоль неё также не может вернуть их на исходное место.

Ответ: скользящая симметрия, неподвижных точек нет. Проверка показывает, почему недостаточно заметить отражение: надо учесть и сдвиг. Если сдвиг ненулевой, ни точки на оси, ни точки вне неё не остаются на месте.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любое движение имеет неподвижную точку. Так думают, потому что при повороте или отражении легко найти точку, которая остаётся на месте. Но ненулевой перенос сдвигает всю плоскость, а скользящая симметрия после отражения ещё и сдвигает точки вдоль оси. Проверьте себя: если неподвижная точка предполагается, подставьте её в описание преобразования и проследите обе операции.

Ошибка: путать поворот с переносом. Оба преобразования сохраняют расстояния и могут перемещать фигуру целиком, поэтому их легко смешать. При переносе вектор смещения каждой точки один и тот же, а при повороте точки меняют положение вокруг центра. Сравните векторы смещения двух точек: если они различаются, это не перенос.

Ошибка: называть любое отражение скользящей симметрией. Название может навести на мысль, что оно относится ко всякому зеркальному преобразованию. Однако скользящая симметрия обязательно включает ненулевой перенос вдоль оси, а обычная осевая симметрия состоит только из отражения. Чтобы проверить название, выясните, смещаются ли точки после отражения вдоль оси.

Ошибка: полагать, что сохранение расстояний означает сохранение ориентации. Расстояния и форма действительно остаются прежними, но эти свойства не говорят, в какую сторону обходить вершины. Отражение сохраняет расстояния и при этом меняет порядок обхода треугольника. Проверяйте ориентацию отдельно: сравните направления обхода соответствующих вершин до и после преобразования.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать движения, нужно уметь находить расстояния и работать с векторами: длина и направление вектора описывают перенос. Понятие равных фигур помогает увидеть, что движение сохраняет размеры и форму, а изученные перенос, поворот и осевая симметрия дают знакомые примеры таких преобразований. Классификация пригодится при изучении симметрии фигур и изометрий — преобразований, сохраняющих расстояния. Она также помогает определять, что происходит с ориентацией при композиции нескольких движений.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между всеми парами точек.
• Движения плоскости делятся на прямые и обратные по отношению к ориентации.
• Прямые движения — тождественное преобразование, перенос и поворот.
• Обратные движения — осевая и скользящая симметрии.
• У осевой симметрии неподвижны точки её оси.
• У скользящей симметрии неподвижных точек нет.