42.3. Элементы групп симметрии ограниченных и неограниченных фигур

Определения и обозначения

Симметрия фигуры — движение плоскости, переводящее фигуру в себя. Движение сохраняет расстояния между точками, а значит, не растягивает и не деформирует фигуру. Это определение помогает отличить настоящую симметрию от сходства отдельных частей.

Группа симметрий фигуры — совокупность всех движений, которые сохраняют эту фигуру. При композиции, то есть последовательном выполнении двух таких движений, получается новое движение из той же совокупности; в неё также входят тождественное движение и обратные движения. Это описание позволяет изучать не только отдельные оси, но и взаимосвязи симметрий.

Тождественное движение оставляет каждую точку на месте. Оно входит в группу любой фигуры и служит её единичным элементом: его выполнение не меняет результат другого движения. Благодаря этому даже фигура без осей и поворотов имеет хотя бы одну симметрию.

Ось симметрии — прямая, относительно которой отражение сохраняет фигуру, а центр симметрии — точка, относительно которой выполняется центральная симметрия. При отражении точки переходят на противоположную сторону оси на равное расстояние, а при центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом. Эти понятия называют конкретные виды симметрий.

Как это устроено

Проверяя симметрию, нужно применить движение ко всей фигуре и выяснить, совпадает ли образ с исходной фигурой. Проверка одной вершины или одного фрагмента недостаточна: например, вершина может перейти в другую вершину, а сторона при этом — не попасть на сторону фигуры. Причина в том, что движение сохраняет расстояния, но это само по себе не гарантирует сохранения выбранной фигуры. Поэтому проверяют соответствие всех точек, границ и частей.

Композиция двух симметрий снова сохраняет фигуру: первое движение переводит её в себя, а второе сохраняет получившуюся фигуру. Однако порядок может менять результат, поскольку движения действуют на точки последовательно и не всегда взаимозаменяемы. Например, поворот и отражение в общем случае дают разные композиции при разных порядках выполнения. Это свойство важно учитывать, когда перечисляют элементы группы и строят новые симметрии из известных.

Каждое движение можно обратить: обратное движение возвращает каждую точку туда, откуда она пришла. Если исходное движение сохраняет фигуру, то и обратное сохраняет её, ведь оно лишь отменяет преобразование и возвращает фигуру в первоначальное положение. Например, обратный перенос направлен в противоположную сторону, а обратным к повороту на 90° будет поворот на 270°. Наличие обратного элемента гарантирует, что внутри группы движение не приводит к потере части фигуры.

У ограниченной фигуры нет симметрии-переноса на ненулевой вектор. Если бы перенос на вектор a сохранял фигуру, его можно было бы повторить сколько угодно раз; точка каждый раз смещалась бы ещё на a. Её образы оказались бы сколь угодно далеко от начального положения, хотя ограниченная фигура целиком помещается в круг некоторого радиуса. Получается противоречие, поэтому возможен только перенос на нулевой вектор — тождественное движение.

Неограниченная фигура может продолжаться бесконечно в направлении переноса, поэтому повторные сдвиги не обязаны выводить точки за её пределы. Так, прямая сохраняется при переносах вдоль себя, а бесконечная полоса — при переносах, параллельных её границам. Вместе с отражениями и поворотами эти движения могут образовывать группы разного состава. Чтобы установить состав группы, каждое движение и его сочетания проверяют на сохранение всей фигуры.

Симметрии ограниченных и неограниченных фигур

Сначала определите, ограничена ли фигура: от этого зависит, можно ли искать ненулевые переносы. Затем проверяйте каждый вид движения на совпадение всей фигуры с её образом. Таблица описывает типичные возможности, но не означает, что любая фигура имеет все перечисленные симметрии.

Разбор задач

1. Симметрии квадрата

Условие. Перечислите все симметрии квадрата и укажите, какие из них являются отражениями, а какие — поворотами. Нужно учитывать также тождественное движение, которое иногда упускают при перечислении. Удобно сначала рассмотреть преобразования вокруг центра квадрата, а затем — отражения.

1. Проверьте повороты вокруг центра. Поворот на 90°, 180° или 270° переставляет вершины и стороны квадрата на соответствующие им места, поэтому сохраняет фигуру.
2. Добавьте тождественный поворот на 0°. Он оставляет все точки на месте, так что также является симметрией, хотя не относится к поворотам на ненулевой угол.
3. Проверьте отражения. Квадрат совпадает с собой при отражении относительно двух диагоналей и двух прямых, проходящих через середины противоположных сторон.
4. Убедитесь, что других движений нет: образ квадрата должен совпасть с ним, значит, центр остаётся на месте, а вершины переходят в вершины. Все такие соответствия задаются указанными поворотами и отражениями.

Ответ. У квадрата восемь симметрий: тождественное движение, три поворота на 90°, 180° и 270° и четыре отражения. Из них три — повороты на ненулевые углы, четыре — отражения. Вместе с тождественным движением они образуют группу.

2. Симметрии бесконечной прямой

Условие. Найдите симметрии бесконечной прямой и опишите переносы вдоль неё. Поскольку прямая не имеет концов, сдвиг вдоль неё может не менять фигуру. Для полноты нужно проверить также отражения и повороты.

1. Выберите направление прямой и перенесите каждую её точку на одно и то же расстояние вдоль этого направления. Образом будет та же прямая, поэтому любой такой перенос является симметрией.
2. Отразите прямую относительно самой себя. Все её точки останутся на месте, поэтому это тождественное преобразование; отражение относительно перпендикулярной прямой, пересекающей её, также сохраняет прямую.
3. Рассмотрите поворот на 180° вокруг любой точки прямой. Точки прямой переходят в точки этой же прямой, а значит, фигура сохраняется.

Ответ. Переносы вдоль прямой на любой вектор, параллельный ей, являются её симметриями. Также прямую сохраняют отражения относительно самой прямой и перпендикулярных ей прямых, а ещё повороты на 180° вокруг её точек.

3. Бесконечная полоса и отрезок

Условие. Определите движения, сохраняющие бесконечную полосу между двумя параллельными прямыми, и сравните их с симметриями отрезка. Сначала нужно не допустить, чтобы какая-либо точка полосы или её граница перешла за пределы фигуры. Затем можно проверить движения вдоль полосы и преобразования, меняющие её стороны местами.

1. Перенос вдоль полосы сохраняет расстояние до её границ и оставляет их на месте, поэтому сохраняет полосу. Перенос поперёк неё не подходит: точки и границы сдвинутся, и полоса не совпадёт с исходной.
2. Отражение относительно средней линии полосы меняет её границы местами, а отражение относительно перпендикулярной прямой через середину полосы также сохраняет её. Поворот на 180° вокруг точки средней линии сочетает эти изменения и оставляет полосу на месте.
3. У отрезка ненулевой перенос не может быть симметрией: после сдвига его концы окажутся в другом положении, и отрезок не совпадёт с исходным. Отражение относительно прямой, содержащей отрезок, и поворот на 180° вокруг его середины, напротив, сохраняют его.

Ответ. Бесконечную полосу сохраняют переносы вдоль неё, отражения относительно её средней линии и перпендикулярных линий, проходящих через её середину, а также повороты на 180° вокруг точек средней линии. У отрезка переносов-симметрий нет, потому что он ограничен и имеет концы.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать любой перенос симметрией. Её допускают, потому что перенос сохраняет форму и расстояния, но он может сдвинуть фигуру так, что она перестанет совпадать с исходной. Проверьте образ целиком; для отрезка ненулевой перенос, например, не подходит.

• Неверно утверждать, что группа симметрий ограниченной фигуры всегда конечна. Такое мнение возникает из запрета переносов, но остаются повороты на разные углы; круг сохраняется при любом повороте вокруг центра. Чтобы проверить утверждение, рассмотрите круг и сравните повороты на разные углы.

• Ось симметрии нельзя определять по частичному совпадению фигуры с её отражением. Иногда отдельные точки или части совпадают, но остальные уходят в сторону. Проверьте, что отражение переводит в исходную фигуру каждую её точку.

• Нельзя считать, что композиция движений всегда коммутативна, то есть порядок их выполнения не важен. Это предположение кажется естественным, когда оба движения сохраняют одну фигуру, однако сами преобразования могут переставлять точки по-разному. Выполните оба порядка, например сначала поворот и отражение, затем отражение и поворот, и сравните полученные образы.

Связь с другими темами

Для работы с группами симметрий нужно знать основные движения плоскости: перенос, поворот, отражение и тождественное преобразование. Тема также опирается на композицию преобразований и обратное движение: они объясняют, почему симметрии объединяются в группу. Эти идеи применяются при изучении правильных многоугольников, орнаментов и симметрий пространственных фигур.

Что запомнить

• Симметрия фигуры переводит всю фигуру в себя.
• Тождественное движение входит в любую группу симметрий.
• Композиция симметрий фигуры снова является её симметрией.
• У каждой симметрии есть обратная симметрия.
• Ограниченная фигура не может сохраняться при ненулевом переносе.
• Неограниченные фигуры могут иметь симметрии-переносы.