42.2. Группа симметрии

Определения и обозначения

Симметрия фигуры — это движение, которое переводит фигуру в себя. Движение сохраняет расстояния между любыми точками, поэтому длины и углы фигуры не меняются. Сохраняется и взаимное расположение точек: например, вершины, соседние стороны и середины отрезков переходят в соответствующие элементы. Это определение позволяет проверять, действительно ли преобразование оставляет неизменной именно данную фигуру.

Группа симметрий фигуры — множество всех её симметрий, рассматриваемое вместе с операцией композиции преобразований. Композиция означает последовательное выполнение: сначала применяют одно преобразование, затем другое. Это нужно, чтобы изучать не отдельные симметрии сами по себе, а связи между ними. Например, можно выяснить, к какой симметрии приводит последовательное выполнение двух отражений.

Тождественное преобразование оставляет каждую точку на месте. Оно является симметрией любой фигуры, потому что после такого преобразования фигура вообще не меняется. В группе оно играет роль нейтрального элемента: композиция с ним не изменяет другое преобразование. Поэтому при подсчёте симметрий его нельзя пропускать.

Композиция преобразований — результат их последовательного выполнения. Например, если сначала отразить фигуру, а затем повернуть, композиция означает именно такой порядок действий. Композиция задаёт операцию в группе симметрий, потому что преобразования можно объединять и сравнивать их результаты. Порядок обычно указывают явно: сначала выполняют преобразование, стоящее ближе к фигуре в описании действия.

Как это устроено

Пусть первое движение переводит фигуру F в себя, а затем применяется второе движение, которое тоже переводит F в себя. После первого шага полученная фигура всё ещё совпадает с F, поэтому второе движение действует на ту же фигуру и снова оставляет её на месте. Значит, результат последовательного выполнения также переводит F в себя. Именно поэтому множество симметрий замкнуто относительно композиции: результат операции не выпадает из этого множества.

Композиция движений ассоциативна: если последовательно выполнить три движения, то можно сначала объединить первые два или сначала последние два — конечное положение каждой точки будет одинаковым. Это свойство относится к самим преобразованиям, а не только к симметриям конкретной фигуры. Тождественное преобразование даёт нейтральный элемент, потому что ничего не меняет до или после другой симметрии. Вместе эти свойства позволяют рассматривать симметрии как группу.

У каждой симметрии есть обратное преобразование, которое отменяет её действие. Если движение переводит фигуру в себя, то оно переводит её точки на точки этой же фигуры; обратное возвращает каждую точку туда, откуда она пришла. Поэтому после применения обратного движения фигура снова совпадает с исходной. Обратное преобразование необходимо проверить при составлении группы, а не считать его подходящим автоматически без обоснования.

Чтобы составить группу симметрий конкретной фигуры, сначала перечисляют все движения, которые могут сохранить её форму и положение как множество точек. Затем проверяют каждое движение: после него вершины, стороны или другие характерные части должны совпасть с элементами исходной фигуры. После этого рассматривают композиции найденных преобразований и определяют обратное для каждого. Такой порядок помогает не забыть тождественное преобразование и не включить в список движения, которые лишь сохраняют форму, но перемещают фигуру в другое место.

Состав группы зависит от фигуры: чем больше у неё подходящих поворотов и отражений, тем больше возможных симметрий. У прямоугольника, не являющегося квадратом, есть поворот на 180° и отражения относительно двух осей через центр, но поворот на 90° не подходит. У квадрата такой поворот подходит, а также есть диагональные отражения. Симметриями могут быть не только повороты и отражения по отдельности, но и их композиции, если результат снова оставляет фигуру на месте.

Группы симметрий некоторых плоских фигур

В таблице тождественное преобразование указано как поворот на 0° там, где симметрии сгруппированы по поворотам. При подсчёте проверьте, что одно и то же преобразование не учтено дважды. Для отрезка в плоскости отражение относительно его прямой тоже сохраняет фигуру, поэтому группа содержит четыре элемента.

Разбор задач

Симметрии отрезка

Задача. Указать все симметрии отрезка и определить число элементов его группы симметрий. Сначала отметим, что концы отрезка должны перейти в его концы, а середина — остаться на месте. Это ограничивает возможные движения: нельзя сдвинуть отрезок или изменить его длину.

1. Тождественное преобразование оставляет отрезок на месте.
2. Отражение относительно прямой, на которой лежит отрезок, фиксирует все его точки.
3. Отражение относительно серединного перпендикуляра меняет концы отрезка местами, но сохраняет середину.
4. Поворот на 180° вокруг середины также меняет концы местами и переводит отрезок в себя.

Ответ: у отрезка в плоскости 4 симметрии. Перечисление только тождественного преобразования и отражения относительно серединного перпендикуляра было бы неполным: нужно также учесть прямую отрезка и поворот вокруг его середины.

Прямоугольник, не являющийся квадратом

Задача. Найти все симметрии такого прямоугольника и описать композицию двух его отражений. Обозначим через O центр прямоугольника, а через оси — прямые через O, параллельные его сторонам. Разные длины сторон не позволяют повернуть прямоугольник на 90° и совместить его с исходным.

1. В группу входит тождественное преобразование.
2. Отражение относительно каждой из двух осей через O сохраняет прямоугольник.
3. Поворот на 180° вокруг O переводит каждую вершину в противоположную и тоже сохраняет фигуру.
4. Последовательное отражение относительно двух перпендикулярных осей через O даёт поворот на 180° вокруг O: точка в результате оказывается на противоположной стороне от центра.

Ответ: у прямоугольника четыре симметрии. Композиция отражений относительно его двух осей — центральная симметрия, то есть поворот на 180° вокруг центра прямоугольника.

Симметрии квадрата и обратные элементы

Задача. Перечислить симметрии квадрата, составить таблицу результатов композиции и определить обратную для каждой симметрии. Для краткой записи назовём повороты R₀, R₉₀, R₁₈₀, R₂₇₀ по углу, а отражения — S₁, S₂, S₃, S₄ по осям квадрата. В таблице строки обозначают первое выполненное преобразование, столбцы — второе.

1. Записываем все элементы: R₀, R₉₀, R₁₈₀, R₂₇₀ и четыре отражения S₁–S₄.
2. Для двух поворотов складываем углы с переходом через 360°; например, R₉₀ после R₁₈₀ даёт R₂₇₀.
3. Два одинаковых отражения дают R₀, а два отражения относительно перпендикулярных осей дают R₁₈₀.
4. В каждой клетке таблицы результат снова будет одним из восьми перечисленных преобразований. Это проверяет замкнутость группы.

Ответ: группа квадрата содержит 8 элементов. Обратными к R₉₀ и R₂₇₀ являются друг друга, а R₀ и R₁₈₀ обратны самим себе; каждое отражение также обратное самому себе. Полную таблицу композиции составляют, применяя указанное правило к каждой паре элементов.

Типичные ошибки

Считать симметрией любое движение плоскости — значит забыть, что оно должно переводить в себя именно данную фигуру. Ошибка возникает, когда движение сохраняет расстояния и форму, но фигура после него сдвигается в другое место. Проверка проста: сравните множество точек до и после преобразования, а не только длины и углы. Если хотя бы часть фигуры оказалась вне исходного положения, это не её симметрия.

Перечисление только отражений приводит к пропуску поворотов и тождественного преобразования. Обычно это происходит потому, что слово «симметрия» связывают только с зеркальным отражением. Проверьте, может ли фигура совместиться с собой при повороте, и отдельно добавьте преобразование, оставляющее все точки на месте. При подсчёте учитывайте каждое различное преобразование ровно один раз.

Композицию иногда принимают за сложение преобразований или предполагают, что порядок не имеет значения. Но композиция означает выполнение одного движения за другим, а результат зависит от того, в каком порядке они применены. Чтобы проверить себя, проследите за одной характерной точкой после каждого шага. Если поменять порядок и точка окажется в другом месте, преобразования не коммутируют.

Обратное преобразование нельзя исключать из группы без проверки. Такая ошибка появляется, когда перечисление ограничивают движениями, которые сразу заметны на рисунке. Выполните преобразование, затем примените предполагаемое обратное и убедитесь, что каждая точка вернулась на место. Если обратное движение переводит фигуру в себя, оно тоже должно быть включено в группу.

Связь с другими темами

Для изучения групп симметрий нужно знать движения плоскости: осевую и центральную симметрии, поворот и композицию движений. Умение находить их помогает проверить, какие преобразования сохраняют конкретную фигуру. Эти знания применяются при изучении правильных многоугольников: их повороты и отражения можно описать как группу. Далее идея развивается в теме групп преобразований, где рассматривают не только симметрии отдельных фигур.

Что запомнить

• Симметрия фигуры — движение, переводящее её в себя.
• Тождественное преобразование является симметрией любой фигуры.
• Композиция двух симметрий фигуры снова является её симметрией.
• Обратное к симметрии фигуры также является её симметрией.
• Симметрии фигуры вместе с композицией образуют группу.
• У разных фигур могут быть группы симметрий с разным числом элементов.