42.1. Общее понятие симметрии

Определения и обозначения

Преобразование пространства — взаимно однозначное соответствие его точек: каждой точке соответствует ровно одна точка, и разные точки не имеют общего образа. Например, при отражении точка переходит в точку, расположенную симметрично относительно заданной прямой. Это понятие нужно, чтобы точно описывать, как меняется положение каждой точки фигуры.

Симметрия фигуры — преобразование, переводящее фигуру в себя. Это означает, что образ каждой её точки принадлежит той же фигуре, а совокупность образов совпадает с исходной фигурой. Определение позволяет отличить симметрию от простого перемещения или изменения положения фигуры.

Точки или части фигуры называют симметричными относительно преобразования, если при нём они переходят друг в друга. Например, при отражении относительно прямой каждая точка и её образ лежат по разные стороны от прямой на одинаковом расстоянии. Понятие помогает проследить, какие элементы фигуры соответствуют друг другу.

Инвариант преобразования — свойство или отношение, которое сохраняется при преобразовании. Так, при отражении сохраняются расстояния между точками, хотя их положение меняется. Инварианты помогают сравнивать фигуру и её образ, но для симметрии дополнительно требуется, чтобы образ совпал с самой фигурой.

Как это устроено

Идея симметрии возникает, когда фигуру сравнивают с её образом после преобразования. Если фигура и образ совпадают, преобразование не меняет её как целое, хотя отдельные точки могут переместиться. Именно это совпадение позволяет назвать преобразование симметрией фигуры. Если образ хотя бы частично выходит за пределы исходной фигуры или не покрывает её, симметрии нет.

Для ответа всегда нужно назвать и фигуру, и преобразование. Одна и та же фигура может сохраняться при одном преобразовании и изменяться при другом: квадрат переходит в себя при повороте на 90°, но обычно не совпадает с собой после переноса на ненулевой вектор. Поэтому фраза «фигура симметрична» неполна, пока не указано, относительно какого преобразования её рассматривают.

Осевая, центральная и вращательная симметрии — частные случаи общего понятия. При осевой симметрии точки отражаются относительно прямой, при центральной — относительно точки, а при вращательной фигуру поворачивают вокруг центра на заданный угол. В каждом случае критерий один: после преобразования образ всей фигуры должен совпасть с ней. Знакомые виды симметрии становятся понятнее, если рассматривать их как конкретные правила перемещения точек.

Преобразование может менять положение точек, сохраняя некоторые свойства и отношения между ними. Например, отражение сохраняет длины отрезков и величины углов, хотя точки оказываются в других местах. Такие сохраняющиеся характеристики называют инвариантами. Они помогают установить соответствие элементов, но сохранения формы или размеров недостаточно: нужно отдельно проверить совпадение образа с исходной фигурой.

У одной фигуры может быть несколько преобразований, при которых она совпадает сама с собой. У квадрата это отражения относительно его осей и повороты на 90°, 180° и 270°. Бывает и фигура без нетривиальных симметрий, то есть такая, которую не переводят в себя никакие преобразования, кроме тождественного. Тождественное преобразование оставляет каждую точку на месте, поэтому подходит для любой фигуры.

Симметрия фигуры при разных преобразованиях

Пользуйся таблицей так: сначала укажи вид преобразования и его параметры, например ось или угол поворота. Затем проследи за точками и проверь, совпадает ли весь образ фигуры с исходной. Сохраняющиеся расстояния и углы могут помочь, но не заменяют этой проверки.

Разбор задач

Задача 1. Установить, обладает ли отрезок осевой симметрией относительно прямой, содержащей его. Нужно рассмотреть отражение относительно этой прямой и проверить, куда при нём переходят точки отрезка. Так как все точки отрезка лежат на оси отражения, можно проверить их непосредственно. Важно учитывать не только концы, но и весь отрезок.

1. Обозначим прямую, содержащую отрезок, осью отражения. Точки, лежащие на оси, при отражении остаются на месте.
2. Оба конца отрезка принадлежат этой прямой и потому не меняются. Любая точка между концами также лежит на оси и остаётся в отрезке.
3. Значит, образ каждой точки принадлежит отрезку, а весь его образ совпадает с исходным.

Ответ: да, отрезок симметричен относительно прямой, содержащей его.

Задача 2. Определить, какие из заданных преобразований переводят квадрат в себя. Сначала нужно рассмотреть каждое преобразование отдельно, поскольку совпадение при одном действии ничего не говорит о другом. Для квадрата достаточно проследить за вершинами, но в конце следует проверить и соответствие сторон. Если вершины переходят в вершины исходного квадрата в правильном порядке, его стороны и внутренняя область также совпадают.

1. При отражении проверьте, переходят ли вершины квадрата в вершины этого же квадрата. Например, отражение относительно диагонали сохраняет квадрат.
2. При повороте вокруг центра проверьте угол. Повороты на 90°, 180° и 270° переводят квадрат в себя, а произвольный угол — не обязательно.
3. При переносе на ненулевой вектор квадрат смещается и не совпадает с прежним. Тождественное преобразование, то есть перенос на нулевой вектор, оставляет квадрат на месте.

Ответ: квадрат сохраняется при отражениях относительно его осей и при поворотах на 90°, 180° и 270° вокруг центра; тождественное преобразование тоже переводит его в себя. Ненулевой параллельный перенос квадрат в себя не переводит.

Задача 3. По описанию преобразования установить, может ли оно быть симметрией заданной фигуры, и указать сохраняющееся свойство. Пусть дано правило, которое сохраняет расстояния между точками, но переводит фигуру в другое место. Сохранение расстояний подтверждает, что форма не изменилась, однако этого недостаточно для вывода о симметрии. Решение требует сравнить образ с исходной фигурой.

1. Определите образы точек фигуры и составьте из них её образ. Учитывайте все точки, а не только те, которые удобно проверить.
2. Сравните образ с исходной фигурой. Если они занимают разные места и не совпадают, преобразование не является симметрией этой фигуры.
3. Отдельно укажите инвариант. Если расстояние между любой парой точек сохраняется, то длины отрезков не меняются, даже когда сама фигура перемещается.

Ответ: преобразование является симметрией только при совпадении образа фигуры с исходной. Сохранение расстояний само по себе этого не доказывает.

Типичные ошибки

• Называть фигуру симметричной, не указывая преобразование. Так делают, потому что в повседневной речи обычно имеют в виду ось симметрии. Но одна фигура может сохраняться при повороте и не сохраняться при переносе. Проверь себя: можешь ли ты назвать конкретное действие, которое переводит фигуру в себя?
• Считать любое перемещение симметрией. Точки действительно могут переместиться, но образ при этом не обязательно совпадает с исходной фигурой. Ошибка возникает из-за смешения движения и сохранения фигуры. Проверь себя, наложив образ на исходную фигуру: они должны совпасть целиком.
• Путать симметрию фигуры с симметрией отдельных точек. Несколько точек могут перейти друг в друга, хотя остальные точки образуют другую фигуру. Обычно проверяют заметные вершины и забывают о промежуточных точках или частях фигуры. Проверь, куда переходит вся фигура, а не только выбранные элементы.
• Считать совпадение формы достаточным. Фигура может иметь те же форму и размеры, но после преобразования оказаться в другом месте. Это показывает сохранение некоторых свойств, а не симметрию фигуры. Проверь, совпадают ли образ и исходная фигура как множества точек.

Связь с другими темами

Для работы с симметриями полезно знать, что такое геометрическая фигура, отображение и преобразование пространства: без этих понятий нельзя точно описать, куда переходят точки. Осевая и центральная симметрии знакомы из предыдущих тем и теперь рассматриваются как частные случаи общего понятия. Дальше этот подход пригодится при изучении движений и других преобразований пространства. Он также помогает систематически искать симметрии геометрических фигур и выяснять, какие отношения сохраняются.

Что запомнить

• Симметрия рассматривается относительно заданного преобразования.
• Преобразование является симметрией фигуры, если переводит её в себя.
• Образ каждой точки фигуры при симметрии принадлежит той же фигуре.
• У одной фигуры может быть несколько симметрий.
• Тождественное преобразование оставляет все точки на месте.
• При анализе симметрии важно выяснить, какие свойства сохраняются.