§ 42. Симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия с центром O сопоставляет точке A точку A′ так, что O — середина отрезка AA′. Значит, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Это условие позволяет однозначно построить образ точки и проверить, правильно ли найден центр.

Симметрия относительно прямой в пространстве — поворот на 180° вокруг этой прямой, которую называют осью симметрии. Точки оси остаются на месте, а остальные поворачиваются вокруг неё. Такое определение важно, потому что в пространстве симметрия относительно прямой не является отражением в плоскости.

Зеркальная симметрия относительно плоскости α переводит точку A в точку A′ так, что α перпендикулярна AA′ и делит этот отрезок пополам. Иными словами, плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом. Это правило помогает строить образ точки и находить плоскость симметрии.

Симметрия фигуры относительно центра, прямой или плоскости означает, что соответствующее преобразование переводит фигуру в неё саму. Недостаточно, чтобы в фигуре нашлись образы отдельных точек: совпасть с исходной должна вся фигура. Это определение позволяет проверять симметрию целого тела, а не только его частей.

Как это устроено

Для центральной симметрии образ точки A находят на прямой AO по другую сторону от O. Расстояние от A′ до O должно равняться расстоянию от A до O, поэтому O оказывается серединой отрезка AA′. Если A совпадает с O, образ также совпадает с O. Для любой другой точки такое положение A′ единственно.

При симметрии относительно прямой l точка A поворачивается на пол-оборота вокруг l. Чтобы представить результат, опусти из A перпендикуляр на l: его основание останется на месте, а конец отрезка окажется на противоположной стороне оси на таком же расстоянии. Поэтому точки, не лежащие на l, обычно не остаются на прежнем месте. Отражение в плоскости устроено иначе: там точку переносят через плоскость по перпендикуляру, а не вращают вокруг прямой.

Зеркальный образ A′ относительно плоскости α строится на перпендикуляре к α, проходящем через A. Расстояние от A до плоскости равно расстоянию от A′ до неё, но точка A′ лежит по другую сторону. Если A уже принадлежит α, то переносить её не нужно. Так плоскость сама задаёт середину и перпендикулярность отрезка между точкой и образом.

Все три преобразования сохраняют расстояния: у центральной симметрии отрезки переходят в равные им отрезки, а поворот и отражение также не меняют длины. Они сохраняют и углы, поскольку направления отрезков поворачиваются или отражаются без изменения величины угла между ними. Поэтому форма и размеры образа не меняются. Такое преобразование называют движением пространства.

Чтобы проверить симметрию фигуры, применяют преобразование ко всем её точкам и сравнивают результат с исходной фигурой. Для многогранника удобно сначала проследить, куда переходят вершины: затем проверить, совпадают ли соответствующие рёбра и грани. Отдельные удачные совпадения ещё не доказывают симметрию всей фигуры. Неподвижными при центральной симметрии остаётся центр, при повороте вокруг прямой — точки оси, при отражении — точки плоскости.

Симметрии пространства и их основные свойства

В таблице сначала найди, каким условием определяется образ точки, а затем сравни неподвижные точки. Если в задаче речь идёт о прямой, не подменяй поворот отражением в плоскости. У всех трёх преобразований сохраняются расстояния и углы, хотя правила построения образа различаются.

Разбор задач

Задача 1. Дана точка A и центр O. Построить точку, симметричную A относительно O. Нужно расположить образ так, чтобы центр оказался серединой отрезка между исходной точкой и образом. Проверь не только направление, но и равенство расстояний.

1. Проведи прямую через A и O. Если A совпадает с O, искомая точка — сама O.
2. На луче, начинающемся в O и направленном от A, отложи отрезок длиной OA.
3. Обозначь его конец A′. Тогда OA′ = OA, а O лежит между A и A′.

Ответ: точка A′ на прямой AO по другую сторону от O, причём O — середина AA′. Равенство расстояний служит быстрой проверкой построения. Если центр оказался на конце отрезка, а не внутри него, точка построена неверно.

Задача 2. Дана точка A и прямая l в пространстве. Определить образ A′ при симметрии относительно l. Эта симметрия является поворотом на пол-оборота вокруг оси, поэтому сначала важно определить положение точки относительно неё. Если A лежит на l, образ совпадает с A.

1. Через A опусти перпендикуляр к l и обозначь его основание H.
2. Если AH = 0, то A′ = A. Иначе продолжи отрезок AH за H.
3. На продолжении отметь A′ так, чтобы HA′ = HA. Тогда поворот на 180° вокруг l переводит A в A′.

Ответ: A′ лежит на прямой AH по другую сторону от l, на том же расстоянии от l, что и A. Точки H и все точки l остаются на месте. Если вместо этого перенести A через произвольную плоскость, получится другое преобразование — отражение относительно плоскости.

Задача 3. Установить, имеет ли тетраэдр плоскость симметрии, и указать её, если существует. Сначала нужно уточнить форму тетраэдра: наличие плоскости симметрии зависит от расположения вершин, поэтому не каждый тетраэдр обязательно обладает такой плоскостью. Для регулярного тетраэдра пример можно построить явно.

1. Выбери вершину и противоположное ей ребро; найди середину этого ребра.
2. Проведи плоскость через выбранную вершину и найденную середину.
3. При отражении относительно этой плоскости две вершины противоположного ребра меняются местами, а выбранная вершина остаётся на месте.
4. Для регулярного тетраэдра четвёртая вершина также лежит в плоскости, поэтому остаётся неподвижной. Проверь, что все рёбра переходят в рёбра тетраэдра.

Ответ: у регулярного тетраэдра эта плоскость является плоскостью симметрии. Для произвольного тетраэдра такой вывод делать нельзя: надо проверить, что отражение переводит каждую вершину в вершину тетраэдра и сохраняет его рёбра и грани. Совпадение образов лишь части вершин недостаточно.

Типичные ошибки

• Путать симметрию относительно прямой с отражением в плоскости. Так происходит, потому что оба преобразования можно описать как перенос точки на другую сторону. Но симметрия относительно прямой в пространстве — поворот на 180° вокруг неё, а отражение задаётся плоскостью. Проверь, какое преобразование указано в условии: для прямой должны оставаться неподвижными точки оси.
• Ставить центр на конце отрезка AA′. Ошибка возникает, если слово «центр» воспринимают как точку, от которой откладывается только одно расстояние. При центральной симметрии O должна быть серединой отрезка, поэтому она лежит между A и A′ и OA = OA′. Проверь и равенство длин, и расположение точек на одной прямой.
• Путать неподвижные точки разных преобразований. Можно ошибочно считать, что при любом виде симметрии на месте остаётся только один элемент. На деле центр неподвижен при центральной симметрии, вся ось — при повороте вокруг прямой, а вся плоскость — при отражении. Сверь неподвижные точки с видом преобразования.
• Считать фигуру симметричной по отдельным совпавшим точкам. Обычно это происходит, когда проверяют только одну вершину или часть тела. Для симметрии преобразование должно перевести всю фигуру в себя, включая её границы и составные элементы. Проверь образы всех точек или, для многогранника, всех вершин и образованных ими рёбер и граней.

Связь с другими темами

Для работы с симметриями нужны понятия движения пространства, расстояния между точками и середины отрезка: без них нельзя точно определить образ. На плоскости уже встречаются центральная и осевая симметрии; в пространстве к ним добавляются поворот вокруг прямой и отражение относительно плоскости. Симметрии помогают изучать правильные многогранники, строить сечения и точнее изображать пространственные фигуры. Они позволяют замечать равные части и выбирать удобные элементы для построений.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка между точкой и её образом.
• Симметрия относительно прямой в пространстве — поворот на 180° вокруг этой прямой.
• При симметрии относительно плоскости она перпендикулярна отрезку между точкой и образом и делит его пополам.
• Все три преобразования сохраняют расстояния и являются движениями пространства.
• Фигура симметрична, если соответствующее преобразование переводит её целиком в себя.
• Неподвижны центр, точки оси или точки плоскости — в зависимости от выбранного преобразования.