"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
На сфере расстояние между точками измеряют не по прямой, а по кратчайшему пути по поверхности — меньшей дуге большой окружности. Три такие дуги могут образовать сферический треугольник, стороны которого подчиняются неравенству треугольника: каждая меньше суммы двух других. Из этого следуют ограничения на разность и длину сторон. Эти правила помогают проверять, могут ли заданные отрезки образовать треугольник, и находить возможные расстояния по поверхности сферы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние на сфере — длина кратчайшей дуги большой окружности между двумя точками; большая окружность проходит по сфере и имеет тот же центр, что и сфера. Если радиус сферы равен R, а меньший центральный угол — α радиан, расстояние равно Rα. Это определение позволяет измерять путь по поверхности, а не по прямой внутри сферы.
Сферический треугольник — фигура на сфере, образованная тремя дугами больших окружностей, соединяющими три точки. Его вершины — эти точки, а дуги образуют границу фигуры. Такое описание помогает отличать сферический треугольник от плоского: его стороны лежат на поверхности сферы.
Сторона сферического треугольника — длина одной из ограничивающих его дуг. Обычно вершины обозначают A, B, C, а стороны, лежащие напротив них, — a, b, c соответственно. Например, сторона a соединяет B и C; эти обозначения нужны, чтобы записывать соотношения между сторонами кратко и однозначно.
Неравенство треугольника на сфере утверждает, что расстояние между двумя точками не больше суммы расстояний от них до третьей. Для точек A, B, C это d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B). Оно сравнивает кратчайший путь напрямую с маршрутом через промежуточную точку и служит основой для оценок сторон.
Чтобы соединить две точки по поверхности сферы кратчайшим путём, рассматривают большую окружность, проходящую через них. Её плоскость проходит через центр сферы, а потому дуга окружности лежит на поверхности. Из двух дуг выбирают меньшую: большая дуга не может быть кратчайшим маршрутом, поскольку между теми же точками есть более короткий путь по другой стороне окружности. Длина дуги радиуса R при центральном угле α в радианах равна Rα, поэтому так же вычисляют и сферическое расстояние.
Обозначим расстояние между A и B через d(A,B), а путь через C — через d(A,C) + d(C,B). Этот путь составлен из двух дуг и соединяет те же начальную и конечную точки, что и кратчайшая дуга AB. По определению кратчайшего расстояния никакой другой маршрут не может оказаться короче неё. Поэтому d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B); такое рассуждение работает при любой перестановке точек.
В невырожденном сферическом треугольнике никакие три вершины не лежат на одной дуге, образующей кратчайший путь от одной из них к другой. Поэтому путь от A до B через C длиннее кратчайшей дуги AB: получается строгое неравенство. Если же C лежит на кратчайшей дуге AB, маршрут через C складывается из частей этой же дуги и равен ей по длине. Это уже вырожденное расположение, поэтому для обычного сферического треугольника сумма любых двух сторон строго больше третьей.
Неравенство можно записать для разных пар вершин, например a ≤ b + c и b ≤ a + c. Из второго следует a − b ≤ c, а из первого — b − a ≤ c. Объединяя эти два результата, получаем |a − b| ≤ c; для невырожденного треугольника знак строгий: |a − b| < c. Значит, сторона c не только ограничена сверху суммой двух других, но и не может быть меньше модуля их разности.
Любая сторона — меньшая дуга большой окружности, то есть она короче полуокружности. Длина полной окружности радиуса R равна 2πR, поэтому половина её длины составляет πR. Следовательно, каждая сторона сферического треугольника меньше πR. Это отдельное ограничение, которое нужно учитывать наряду с неравенствами между сторонами.
| Что сравниваем | Условие |
|---|---|
| Сумма двух сторон и третья сторона | a < b + c; b < a + c; c < a + b |
| Разность двух сторон и третья сторона | |a − b| < c; |a − c| < b; |b − c| < a |
| Длина одной стороны относительно радиуса сферы | a < πR; b < πR; c < πR |
| Случай равенства в неравенстве треугольника | Равенство возможно только при вырожденном расположении точек |
Сначала проверьте, что каждая сторона меньше суммы двух остальных, а затем — что она больше разности двух других по модулю. Отдельно сравните длину каждой стороны с πR: это ограничение связано с размером сферы. Для невырожденного треугольника используйте строгие знаки; равенство указывает на вырожденный случай.
Радиус сферы равен 6 см, а меньший центральный угол между точками A и B равен π/3. Нужно найти расстояние AB по поверхности. Угол уже задан в радианах, поэтому можно сразу применить формулу длины дуги большой окружности. Не требуется находить длину всей окружности или переводить угол в градусы.
Ответ: 2π см. Проверка показывает, что значение примерно равно 6,28 см и меньше πR = 6π см, как и должно быть для меньшей дуги.
В сферическом треугольнике две стороны равны 4 см и 7 см. Требуется указать возможные значения третьей стороны c. Сначала используем два неравенства треугольника: третья сторона меньше суммы данных сторон и больше их разности. Так как речь идёт о невырожденном треугольнике, границы будут строгими.
Ответ: 3 см < c < 11 см, с дополнительным условием c < πR для сферы заданного радиуса. В условии радиус не указан, поэтому численно применить последнее ограничение нельзя. Также предполагается, что сами заданные стороны допустимы для этой сферы.
На сфере радиуса 10 см даны AB = 8 см и AC = 13 см. Нужно оценить BC и выяснить, может ли оно равняться одной из границ для невырожденного треугольника. Обозначим BC через x. Неравенство треугольника сначала даёт верхнюю границу для x, а перестановка точек — нижнюю.
Ответ: 5 см < BC < 21 см. Ни равенство 5 см, ни равенство 21 см для невырожденного треугольника невозможно: на границах треугольник вырождается.
Ошибка — считать расстоянием длину любой дуги большой окружности между точками. Это происходит потому, что обе дуги лежат на сфере и соединяют одну пару точек, но одна из них длиннее. Для расстояния всегда выбирайте меньшую дугу и соответствующий ей меньший центральный угол. Проверить выбор можно сравнением двух дуг: кратчайшее расстояние не должно превышать половину длины окружности, то есть πR.
Для невырожденного треугольника неверно записывать только нестрогое условие, например a ≤ b + c, как окончательное ограничение. Общая формулировка для любых трёх точек допускает равенство, поэтому легко забыть, что обычный треугольник не вырожден. В нём точка не лежит на кратчайшей дуге между двумя другими, и сумма двух сторон строго больше третьей. Проверьте себя: если равенство получилось, значит, речь идёт о граничном вырожденном случае.
При оценке разности сторон иногда ошибочно пишут c ≤ a − b, забывая, что разность может быть отрицательной и нужно учесть обе перестановки. Запишите неравенства a ≤ b + c и b ≤ a + c: они дают a − b ≤ c и b − a ≤ c. Вместе это означает |a − b| ≤ c, а для невырожденного треугольника — |a − b| < c. Проверка с модулем помогает не перепутать порядок сторон и знак.
Ещё одна ошибка — забывать, что сторона короче πR. Это ограничение следует не из сравнения сторон между собой, а из того, что каждая сторона — меньшая дуга большой окружности. Учитывайте его даже тогда, когда неравенство треугольника уже выполнено. Для самопроверки найдите πR и сравните с ним длину каждой стороны отдельно.
Для вычисления расстояния на сфере нужны формула длины дуги окружности и связь центрального угла с радиусом: длина дуги равна Rα при угле в радианах. Также требуется понимать расстояние как длину кратчайшего пути и применять неравенство треугольника к разным перестановкам точек. Эти знания соединяют планиметрические формулы с геометрией на поверхности сферы. В дальнейшем они пригодятся при изучении сферической геометрии и поиске кратчайших маршрутов по поверхности Земли.
Почему кратчайшее расстояние на сфере измеряют по дуге большой окружности?
Большая окружность получается при пересечении сферы плоскостью, проходящей через её центр. Её дуги задают кратчайшие пути по поверхности; между двумя точками выбирают меньшую дугу.
Как найти расстояние между точками сферы по радиусу и центральному углу?
Умножьте радиус сферы R на меньший центральный угол α, выраженный в радианах: d = Rα. Например, при R = 6 см и α = π/3 расстояние равно 2π см.
Почему сумма двух сторон сферического треугольника больше третьей?
Путь между двумя вершинами через третью не может быть короче кратчайшего пути напрямую. Для невырожденного треугольника эти пути не совпадают, поэтому сумма двух сторон строго больше третьей.
Может ли сторона сферического треугольника быть равна πR?
Нет, сторона — это меньшая дуга большой окружности, а её длина меньше половины длины окружности 2πR. Значение πR соответствовало бы половине окружности, то есть расстоянию между диаметрально противоположными точками.
Когда в неравенстве треугольника на сфере достигается равенство?
Равенство возможно, если одна из точек лежит на кратчайшей дуге между двумя другими. Тогда путь через неё совпадает с кратчайшим путём напрямую, а треугольник вырождается.
I. «Неравенство треугольника» на сфере и его следствия
