"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
На сфере кратчайший путь между точками обычно проходит по меньшей дуге большой окружности — окружности, полученной сечением сферы плоскостью через её центр. Если радиус сферы равен R, а центральный угол дуги — α радиан, её длина равна Rα. Это помогает находить расстояния по поверхности, например на глобусе, и объясняет, почему обычная прямая между точками не подходит: она проходит внутри сферы. Для противоположных точек кратчайших путей бесконечно много.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Большая окружность — окружность на сфере, плоскость которой проходит через центр сферы; её радиус равен радиусу сферы. Иначе говоря, это самое крупное круговое сечение сферы. Понятие нужно, чтобы выделить окружности, дуги которых могут задавать кратчайшие пути по поверхности.
Дуга большой окружности — часть большой окружности между двумя точками сферы. Между точками обычно есть две такие дуги: короткая и длинная. Сравнение их длины позволяет выбрать путь-кандидат на кратчайший.
Центральный угол дуги — угол между радиусами сферы, проведёнными к концам дуги. Если радиус сферы равен R, а угол α выражен в радианах, длина дуги равна l = Rα. Эта формула связывает угол, задающий дугу, с расстоянием вдоль неё.
Сферическое расстояние — наименьшая длина пути по поверхности сферы между двумя её точками. Это не длина отрезка внутри сферы: допустимый путь должен оставаться на поверхности. Понятие нужно, например, чтобы корректно измерять расстояния на глобусе.
Возьмём две точки сферы, которые не являются диаметрально противоположными. Через них и центр сферы можно провести плоскость, причём она будет единственной: три такие точки не лежат на одной прямой. Пересечение этой плоскости со сферой — окружность, проходящая через обе точки. Поскольку плоскость содержит центр, это большая окружность.
На полученной окружности есть две дуги между выбранными точками. Если центральный угол меньшей дуги равен α, где 0 < α < π, то длина этой дуги равна Rα. Полный круг соответствует углу 2π, поэтому большая дуга имеет угол 2π − α и длину R(2π − α). Поскольку 2π − α > α, длинная дуга не может быть кратчайшей, если точки не противоположны.
Но нужно ещё обосновать, что другой путь по сфере, не лежащий на большой окружности, не окажется короче. Для этого можно следить за угловым расстоянием от начальной точки до каждой точки пути: оно меняется от 0 до α. Маленькое перемещение по сфере длины ds не может изменить это угловое расстояние больше чем на ds/R. Иначе путь изменил бы направление от центра быстрее, чем позволяет его длина.
Если сложить такие малые изменения вдоль всего пути, получится, что длина пути не меньше Rα. Это верно для любой кривой по поверхности, соединяющей заданные точки, поэтому Rα — нижняя граница длины. При таком рассуждении мы не предполагаем заранее, что путь идёт по окружности: сравнение относится к произвольной траектории на сфере.
Меньшая дуга большой окружности имеет длину ровно Rα, то есть достигает найденной нижней границы. Значит, ни одна другая кривая по сфере не короче, и эта дуга является кратчайшим путём. Если точки диаметрально противоположны, угол между радиусами равен π; подходящая полудуга найдётся на любой большой окружности через эти точки. Поэтому таких кратчайших путей бесконечно много, и длина каждого равна πR.
| Путь | Центральный угол | Длина | Сравнение с кратчайшим |
|---|---|---|---|
| Меньшая дуга большой окружности | α, 0 ≤ α ≤ π | Rα | Кратчайший путь |
| Большая дуга большой окружности | 2π − α | R(2π − α) | Длиннее меньшей дуги, если α < π |
| Произвольная кривая на поверхности сферы | Не задаётся одним центральным углом для всей кривой | Не меньше Rα | Не короче кратчайшего пути |
В таблице α — угол между радиусами к концам пути, выбранный для меньшей дуги, а R — радиус сферы. Сначала сравните угол с π: для большей дуги берётся дополнение до полного угла 2π. Последняя строка показывает нижнюю границу для любой траектории; равенство возможно, когда путь — кратчайшая дуга большой окружности.
Радиус сферы равен 5 см, центральный угол меньшей дуги большой окружности равен 0,4 рад. Найдите её длину. Угол уже дан в радианах, поэтому его можно сразу использовать в формуле. Требуется длина именно дуги, а не расстояние между концами по прямой.
Ответ: 2 см. Проверка здравого смысла: угол меньше 1 радиана, поэтому длина дуги должна быть меньше радиуса; полученное значение этому условию удовлетворяет.
На сфере радиуса 6 см точки задают центральный угол 120°. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности между ними. Перед вычислением важно установить, какая дуга короче, и привести угол к радианам. Угол 120° меньше 180°, значит, он соответствует меньшей дуге.
Ответ: 4π см, примерно 12,57 см. Большая дуга имела бы центральный угол 240° и была бы длиннее, поэтому для кратчайшего пути она не подходит.
На сфере радиуса 10 см даны две точки, а длина некоторого пути по поверхности между ними равна 25 см. Центральный угол между радиусами к точкам равен 2 рад. Может ли этот путь быть кратчайшим? Сначала найдём нижнюю границу длины любого соединяющего их пути. Затем сравним с ней данные 25 см: для кратчайшего пути длина должна совпасть с границей.
Ответ: нет, такой путь не может быть кратчайшим. Кратчайшая длина равна 20 см; путь длиной 25 см может соединять те же точки, но проходит по более длинной траектории.
Считать кратчайшей любую дугу большой окружности. Между точками есть малая и большая дуги, и длинная дуга обычно длиннее кратчайшего пути. Эту ошибку легко допустить, если помнить только, что путь лежит на большой окружности. Проверьте углы: для кратчайшей дуги выбирают угол не больше π.
Подставлять градусную меру в формулу l = Rα. Формула в таком виде использует радианы, а градусы дают неверный результат. Ошибка возникает из-за того, что обе меры выражают угол, но имеют разные масштабы. Перед расчётом переведите угол: αрад = α° · π/180°.
Путать радиус сферы с длиной дуги или диаметром. В формуле l = Rα нужно подставлять именно радиус, то есть расстояние от центра до поверхности. Иногда вместо него берут диаметр или уже найденную длину дуги. Проверьте данные задачи и размерность: если дан диаметр D, сначала найдите R = D/2.
Считать, что у противоположных точек только один кратчайший путь. Через одну и ту же пару диаметрально противоположных точек проходят бесконечно многие большие окружности. Каждая их полудуга имеет центральный угол π и длину πR. Если угол между радиусами равен π, не выбирайте одну-единственную дугу: все такие полукруги равноправны.
Для работы с этой темой нужны определение сферы и большой окружности, а также связь центрального угла с дугой окружности. Формула длины дуги l = Rα опирается на измерение угла в радианах; поэтому полезно уметь переводить градусы в радианы. Понятие сферического расстояния применяют, когда нужно измерять путь именно по поверхности, а не через внутренность тела. Это пригодится в задачах о расстояниях на глобусе и при дальнейшем изучении геометрии на сфере.
Почему кратчайший путь по сфере проходит по большой окружности?
При движении по сфере длина пути не меньше радиуса, умноженного на изменение углового расстояния от начальной точки. Меньшая дуга большой окружности достигает этой нижней границы, поэтому она и является кратчайшей.
Как отличить большую окружность от обычной окружности на сфере?
Большая окружность получается, когда секущая плоскость проходит через центр сферы. Её радиус равен радиусу сферы; у окружности, полученной плоскостью, не проходящей через центр, радиус меньше.
Почему центральный угол в формуле длины дуги должен быть выражен в радианах?
Формула l = Rα напрямую верна, когда α измерен в радианах. В градусах сначала нужно выполнить перевод: например, 120° = 2π/3 рад.
Всегда ли между двумя точками сферы существует единственная кратчайшая дуга?
Нет. Для точек, не являющихся диаметрально противоположными, кратчайшей будет одна меньшая дуга большой окружности. Для противоположных точек подходят полукруги бесконечного числа больших окружностей.
Как найти длину кратчайшего пути между двумя точками глобуса?
Нужно определить радиус глобуса и центральный угол между радиусами, направленными к точкам. Угол переводят в радианы и умножают на радиус: l = Rα; выбирают угол не больше π.
II. Минимальность длин дуг больших окружностей
