1.3. Аксиома разбиения пространства плоскостью

Определения и обозначения

Полупространство — одна из двух частей пространства, на которые плоскость разделяет всё пространство. Можно представить плоскость как бесконечную перегородку: по каждую её сторону расположена своя часть пространства. Понятие позволяет говорить о положении точек относительно плоскости.

Граница полупространства — плоскость, которая ограничивает это полупространство. Она отделяет его от другой части пространства и является общей границей обеих частей. Это уточнение помогает не смешивать саму плоскость с расположенными по её сторонам точками.

Разбиение пространства плоскостью — представление пространства как плоскости и двух полупространств по разные стороны от неё. Иными словами, вместе эти части составляют всё пространство: две области и разделяющая их плоскость. Такое описание лежит в основе аксиомы, используемой при доказательствах.

Точки по одну и по разные стороны плоскости — точки, расположенные соответственно в одном или в двух различных полупространствах. Речь идёт о точках, не лежащих на плоскости; точка на ней не относится ни к одной из сторон. По этому признаку можно заранее установить, пересечёт ли плоскость отрезок между точками.

Как это устроено

Плоскость разделяет пространство именно на два полупространства: это утверждение принимают как аксиому стереометрии. Представьте, что плоскость продолжена во все стороны без края: перейти с одной её стороны на другую, не пересекая плоскость, невозможно. Поэтому точки вне плоскости оказываются в одной из двух частей, а сама плоскость служит их общей границей.

Чтобы определить, по одну или по разные стороны находятся две точки, сначала проверяют, лежат ли они на плоскости. Если обе точки вне неё, каждая принадлежит одному из двух полупространств. Совпадение полупространств означает, что точки по одну сторону; принадлежность разным полупространствам — что по разные. Это различие важно для вывода о соединяющем их отрезке.

Если концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, отрезок пересекает её. Иначе отрезок целиком оставался бы в одном полупространстве, а его концы оказались бы в одной и той же части пространства. Это противоречило бы условию о разных полупространствах. Значит, между концами отрезок проходит через разделяющую их плоскость.

Если концы отрезка лежат в одном полупространстве, отрезок не пересекает плоскость. Чтобы попасть на другую сторону, путь от одного конца к другому должен был бы пересечь границу полупространства, то есть плоскость. Но оба конца и весь отрезок остаются в одной части пространства. Вывод относится именно к концам вне плоскости; если конец лежит на ней, он уже является точкой пересечения.

Аксиома помогает рассуждать о взаимном расположении геометрических объектов, не измеряя расстояния и не строя точный чертёж. Для отрезка достаточно выяснить, где находятся его концы относительно плоскости. В треугольнике проверяют положение вершин и применяют аксиому к сторонам. Так можно доказать наличие пересечения плоскости с фигурой, даже если подробная форма этого пересечения пока неизвестна.

Разбиение пространства плоскостью

Таблица показывает, как расположение концов отрезка связано с его общими точками с плоскостью. При применении сначала найдите, какие концы лежат на плоскости, а какие находятся в полупространствах. Затем выберите соответствующую строку: это поможет не спутать отсутствие пересечения с пересечением в конце отрезка.

Разбор задач

Задача 1

Плоскость α разделяет пространство на два полупространства. Точки A и B лежат в одном полупространстве, а точки A и C — в разных. Определить, какие из отрезков AB и AC пересекают плоскость α. Здесь решающим является не расстояние между точками, а их принадлежность полупространствам. Применим аксиому отдельно к концам каждого отрезка.

1. Для отрезка AB оба конца лежат в одном полупространстве относительно α. Поэтому отрезок AB не пересекает плоскость.
2. Точки A и C принадлежат разным полупространствам. По аксиоме отрезок AC пересекает разделяющую их плоскость α.

Ответ: AB не пересекает плоскость α, а AC пересекает её. Условие о положении точки A используется в обеих проверках, но положение точки B не определяет расположение точки C. Поэтому выводы о двух отрезках получаются независимо.

Задача 2

Точки A и B лежат по разные стороны плоскости α, а точка C — на плоскости α. Определить число общих точек отрезков AB и AC с плоскостью α. В первом случае оба конца отрезка находятся вне плоскости, во втором один конец уже лежит на ней. Это различие нужно учесть до применения аксиомы.

1. Точки A и B находятся в разных полупространствах. Следовательно, отрезок AB пересекает α.
2. Прямая AB не лежит в плоскости α, поскольку её точки A и B расположены по разные стороны. Такая прямая пересекает плоскость только в одной точке, значит, у отрезка AB ровно одна общая точка с α.
3. Отрезок AC содержит точку C, лежащую на α. Прямая AC не лежит в α, так как A находится вне неё, поэтому других общих точек, кроме C, нет.

Ответ: у каждого из отрезков AB и AC по одной общей точке с плоскостью α. Для AB существование пересечения следует из разных полупространств, а единственность — из того, что прямая AB не лежит в плоскости. Для AC точкой пересечения служит конец C.

Задача 3

Даны треугольник ABC и плоскость α: вершины A и B лежат в одном полупространстве, а вершина C — в другом. Доказать, что плоскость α пересекает треугольник ABC. Треугольник включает свои стороны, поэтому достаточно найти общую точку плоскости с одной из них. Выберем сторону AC, соединяющую вершины, расположенные по разные стороны.

1. Точка A находится в одном полупространстве, а C — в другом.
2. По аксиоме отрезок AC пересекает плоскость α.
3. Сторона AC принадлежит треугольнику ABC, поэтому найденная точка одновременно принадлежит плоскости α и треугольнику.

Ответ: плоскость α пересекает треугольник ABC. Можно было рассмотреть и сторону BC: её концы B и C также лежат в разных полупространствах. Для доказательства достаточно одного такого пересечения; искать точное положение точки на стороне не требуется.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что плоскость разделяет пространство на три полупространства, включая саму плоскость. Так происходит, когда путают разделяющую границу с одной из частей пространства. Проверьте себя: частей по разные стороны две, а плоскость является их общей границей.

Неверно утверждать, что отрезок с концами в разных полупространствах пересекает плоскость в нескольких точках. Сам факт пересечения следует из аксиомы, а единственность в обычном случае связана с тем, что содержащая отрезок прямая не лежит в плоскости и пересекает её в одной точке. Проверяйте, не лежит ли прямая целиком в плоскости: если оба конца вне неё и по разные стороны, такого быть не может.

Нельзя без проверки заменять условие «точки по одну сторону» утверждением «отрезок не пересекает плоскость». Ошибка возникает, если забыть, что точка на плоскости не относится ни к одному полупространству. Перед выводом проверьте оба конца: при конце на плоскости пересечение уже есть.

Не следует автоматически переносить свойство отрезка на ломаную или произвольную кривую. Их форма может быть сложной, и одного сравнения положения концов недостаточно, чтобы обосновать пересечение. Проверяйте каждый отрезок ломаной отдельно, а для кривой используйте подходящее доказательство.

Связь с другими темами

Для работы с аксиомой нужны понятия точки, прямой, отрезка и плоскости, а также умение устанавливать взаимное расположение объектов. Само утверждение о разделении пространства относится к аксиомам стереометрии и показывает, как аксиоматический метод помогает получать выводы из исходных положений. Позже этот результат пригодится при доказательстве свойств тетраэдра и других многогранников. Он также используется в рассуждениях о пересечениях плоскостей и пространственных фигур.

Что запомнить

• Плоскость разделяет пространство на два полупространства.
• Общей границей двух полупространств является исходная плоскость.
• Точки, не лежащие на плоскости, находятся либо по одну, либо по разные стороны от неё.
• Если концы отрезка лежат по разные стороны плоскости, отрезок пересекает плоскость.
• Если концы отрезка лежат в одном полупространстве, отрезок не пересекает плоскость.
• Точка на плоскости считается общей точкой плоскости и отрезка, если она является концом отрезка или лежит внутри него.