"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Расстояние между точками — неотрицательное число, которое показывает, насколько точки удалены друг от друга. Оно равно нулю только для совпадающих точек и не зависит от порядка точек. На координатной прямой расстояние находят как модуль разности координат. Аксиома расстояния также объясняет сложение длин частей отрезка и неравенство треугольника, поэтому помогает сравнивать отрезки и решать задачи геометрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между точками A и B — неотрицательное число AB, характеризующее их удалённость. Расстояние от точки до самой себя равно нулю: AA = 0, а для различных точек оно положительно. Это число позволяет сравнивать положение точек независимо от их названий и порядка записи.
Длина отрезка AB — это расстояние между его концами A и B. Её обозначают теми же буквами: AB. Поэтому запись AB может означать длину отрезка, а не сам геометрический объект; по контексту понятно, о чём идёт речь.
Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения расстояний. С его помощью можно выражать длины в сантиметрах, метрах или других выбранных единицах. Без такой договорённости число, указывающее длину, было бы неопределённым.
Координатная прямая — это прямая с выбранными началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком. Эти элементы позволяют каждой точке сопоставить число — её координату. По координатам удобно находить расстояния и определять взаимное положение точек.
Аксиома расстояния устанавливает, что точкам пространства можно сопоставить расстояния, согласованные с привычными свойствами длины. Расстояние не бывает отрицательным, потому что оно описывает величину удалённости, а не направление. Оно равно нулю только тогда, когда сравниваются одна и та же точка, поэтому по нулевому расстоянию можно распознать совпадение точек.
На прямой начало отсчёта превращает положение точки в число, направление позволяет различать стороны от начала, а единичный отрезок задаёт масштаб. Именно совместный выбор этих трёх элементов образует координатную прямую. Если изменить начало или единицу, сами координаты изменятся, но геометрические расстояния останутся теми же.
Для точек с координатами xA и xB сначала можно найти разность xB − xA. Эта разность показывает направленное смещение от A к B, поэтому при обратном порядке меняет знак. Расстояние не имеет направления, и потому используется модуль: AB = |xB − xA|; благодаря этому также получается AB = BA.
Если C лежит между A и B, отрезок AB распадается на две части: AC и CB. Эти части не перекрываются и вместе составляют весь отрезок, поэтому их длины складываются: AB = AC + CB. Условие «C лежит между A и B» здесь необходимо: если точка находится вне отрезка, простое сложение двух расстояний не даёт длину AB.
Для любых трёх точек путь из A в B через C не короче прямого отрезка AB. Поэтому выполняется неравенство AB ≤ AC + CB, известное как неравенство треугольника. Равенство возникает тогда, когда C лежит на отрезке AB; во всех других случаях путь через C длиннее.
| Расположение точек | Координаты | Расстояние |
|---|---|---|
| A и B — любые точки прямой | A(xA), B(xB) | AB = |xB − xA| |
| C лежит между A и B | xA ≤ xC ≤ xB или xB ≤ xC ≤ xA | AB = AC + CB |
| A, B и C — любые точки; сравнение расстояний | A(xA), B(xB), C(xC) | AB ≤ AC + CB |
Сначала определите, какие точки и координаты даны, а затем выберите подходящую строку. Для любых двух точек работает формула с модулем, а равенство суммы применяют только после проверки, что C находится между концами отрезка. Последняя строка подходит для проверки неравенства при любом расположении точек.
Задача 1. Точки A и B на координатной прямой имеют координаты −3 и 5. Требуется найти длину AB. Поскольку порядок координат не важен, результат должен быть неотрицательным.
Ответ: 8 единиц. Число 8 показывает, сколько единичных отрезков укладывается между точками.
Задача 2. Точка C лежит между A и B, AC = 4,2 см, CB = 3,8 см. Нужно найти весь отрезок AB. Условие о положении C сразу подсказывает, что части отрезка надо сложить.
Ответ: AB = 8 см. Единица измерения сохраняется, потому что складываются длины, выраженные в сантиметрах.
Задача 3. Даны A(−2), B(4), C(7). Проверим неравенство AB ≤ AC + CB и выясним, может ли C лежать между A и B. Для этого сначала найдём все необходимые расстояния по модулю разности координат.
Ответ: неравенство выполняется, но равенства нет: 6 < 12. Точка C расположена правее точки B, а не между A и B.
Первая ошибка — вычислять разность координат без модуля. Например, при движении от точки с большей координатой к меньшей получится отрицательное число, хотя расстояние неотрицательно. Проверяйте себя: перед ответом применяйте знак модуля и убеждайтесь, что результат не меньше нуля.
Вторая ошибка — считать AB и BA разными расстояниями. Такое происходит, когда путают направление перемещения с длиной пути. Расстояние симметрично, поэтому нужно помнить равенство AB = BA.
Третья ошибка — записывать AB = AC + CB без проверки положения C. Равенство работает только при расположении C между A и B, а в общем случае верно AB ≤ AC + CB. Проверьте координаты: координата точки между концами должна лежать между координатами этих концов.
Четвёртая ошибка — путать координату точки и расстояние между точками. Координата зависит от начала отсчёта, направления и единичного отрезка, а расстояние между теми же точками от начала отсчёта не зависит. Чтобы не ошибиться, выясните, описывает ли число положение одной точки или удалённость двух точек.
До изучения темы нужны понятия точки, прямой и отрезка, а также модуль числа и координатная прямая. Модуль особенно важен, потому что превращает направленную разность координат в неотрицательное расстояние. Эти знания позволяют перейти от геометрического рассуждения к вычислениям.
Расстояние между точками используется в координатном методе, где геометрические свойства описывают числами и формулами. В векторной геометрии оно помогает находить длины векторов, а в геометрии пространства — расстояния между точками с пространственными координатами. Общая идея формулы остаётся прежней: сравнивается положение объектов.
Свойства расстояния помогают сравнивать длины и решать задачи на отрезки и треугольники. Сложение частей отрезка используется, когда известны его фрагменты, а неравенство треугольника ограничивает возможные длины. Поэтому аксиома расстояния служит основой для многих последующих доказательств.
Почему при вычислении расстояния между координатами берут модуль разности?
Разность координат зависит от порядка точек: xB − xA и xA − xB имеют разные знаки. Расстояние не может быть отрицательным и не меняется при перестановке точек, поэтому используют модуль: AB = |xB − xA|.
Зависит ли расстояние между точками от выбора начала отсчёта?
Нет, не зависит. При изменении начала отсчёта координаты обеих точек изменяются согласованно, поэтому их разность и её модуль остаются прежними.
Когда можно записать AB = AC + CB?
Такое равенство верно, если точка C лежит между точками A и B. Тогда отрезок AB состоит из двух неперекрывающихся частей AC и CB.
Всегда ли расстояние между двумя точками меньше суммы расстояний через третью?
Да, всегда выполняется AB ≤ AC + CB. Равенство возможно, если C лежит на отрезке AB, а в остальных случаях сумма расстояний через C больше AB.
Чем координата точки отличается от расстояния между точками?
Координата — это число, положение точки относительно выбранного начала отсчёта и единичного отрезка. Расстояние характеризует удалённость двух точек и не зависит от выбора начала отсчёта.
1.4. Аксиома расстояния
