16.3. Ограниченные фигуры. Диаметр фигуры

Определения и обозначения

Ограниченная фигура — фигура, целиком содержащаяся внутри некоторого круга конечного радиуса. Такой круг не обязательно должен совпадать с самой фигурой или иметь с ней общие точки. Понятие помогает понять, имеет ли фигура конечный пространственный размер.

Неограниченная фигура — фигура, которую нельзя целиком поместить ни в один круг конечного радиуса. Иными словами, как бы большой круг мы ни выбрали, часть фигуры останется за его пределами. Это определение позволяет отличить фигуры, уходящие сколь угодно далеко, от фигур конечного размера.

Диаметр фигуры — наибольшее расстояние между двумя её точками; его обозначают d(F), где F — фигура. Чтобы определить диаметр, нужно найти наиболее удалённую пару точек и подтвердить, что дальше друг от друга точки этой фигуры быть не могут. Для некоторых фигур наибольшее расстояние может не достигаться, и тогда рассматривают точную верхнюю границу расстояний.

Ограничивающий круг — круг, внутри которого расположена вся рассматриваемая ограниченная фигура. Его радиус даёт оценку расстояний между точками фигуры: они не могут быть удалены друг от друга больше чем на диаметр этого круга. Поэтому с помощью ограничивающего круга можно доказывать, что фигура ограничена, и оценивать её диаметр.

Как это устроено

Если фигура помещается в круг радиуса R, то любые две её точки принадлежат этому кругу. Самое большое расстояние между точками круга равно его диаметру, то есть 2R: дальше всего друг от друга расположены противоположные точки на границе. Значит, расстояние между любой парой точек фигуры не превосходит 2R, а фигура ограничена. Именно поэтому достаточно найти один круг конечного радиуса, содержащий всю фигуру.

Чтобы найти диаметр, сначала ищут пару точек, которая выглядит наиболее удалённой. Затем нужно обосновать две вещи: расстояние между выбранными точками равно предполагаемому диаметру, а у любой другой пары оно не больше. Одного измерения или рисунка недостаточно: фигура может содержать точки, расположенные дальше, чем кажется. Для круга таким доказательством служит его радиус, для прямоугольника — свойства диагоналей и теорема Пифагора.

У отрезка AB самые удалённые точки — его концы, поэтому диаметр равен длине AB. У окружности и круга радиуса R наиболее удалены противоположные точки, лежащие на одной прямой с центром; расстояние между ними складывается из двух радиусов, поэтому d = 2R. Для круга это рассуждение охватывает и внутренние точки: они не могут дать расстояние больше, чем крайние противоположные точки.

У прямоугольника наиболее удалёнными являются противоположные вершины, то есть концы диагонали. Например, расстояние между такими вершинами находится по теореме Пифагора, поскольку стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник с диагональю в роли гипотенузы. Другие пары точек не могут быть дальше: прямоугольник целиком лежит между своими противоположными вершинами по горизонтали и вертикали, а диагональ учитывает обе стороны сразу.

Если фигура F содержится в фигуре G, любая пара точек из F одновременно является парой точек из G. Следовательно, расстояние между точками F не может превысить наибольшее расстояние между точками G, и d(F) ≤ d(G). В частности, фигура, заключённая в круг радиуса R, имеет диаметр не больше 2R. Равенство возможно, если сама фигура содержит две противоположные точки этого круга на его границе.

Ограниченность и диаметры основных геометрических фигур

Сначала проверьте, ограничена ли фигура: прямая и луч уходят сколь угодно далеко, а остальные фигуры в таблице можно заключить в круг конечного радиуса. Затем выберите формулу диаметра и подставьте известные длины. Для прямоугольника с равными сторонами формула диагонали превращается в d = a√2.

Разбор задач

Какие фигуры ограничены?

Условие. Определите ограниченность отрезка AB, прямой, луча, окружности и круга. Найдите диаметры фигур, для которых они существуют; радиус окружности и круга равен R. Для отрезка обозначим его длину через l. Нужно отдельно проверить, можно ли заключить фигуру в круг конечного радиуса, и найти наиболее удалённые точки.

1. Отрезок можно поместить в круг конечного радиуса, например в круг с центром в середине отрезка и радиусом l/2. Его наиболее удалённые точки — концы, поэтому диаметр равен l.
2. Прямая не ограничена: на ней можно выбрать точки с расстоянием больше любого заданного числа. У луча то же свойство, потому что от его начала можно удаляться сколь угодно далеко; конечного диаметра у обеих фигур нет.
3. Окружность и круг целиком помещаются в круг радиуса R с тем же центром. В обеих фигурах есть противоположные точки на расстоянии 2R, а расстояние между любыми двумя точками не превосходит 2R.

Ответ: отрезок, окружность и круг ограничены; их диаметры равны соответственно l, 2R и 2R. Прямая и луч неограниченны, конечного диаметра у них нет.

Прямоугольник и круг

Условие. Найдите диаметр прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см и сравните его с диаметром круга радиуса 5 см. Диаметром прямоугольника будет диагональ, а диаметр круга находится по радиусу. Эти две длины нужно вычислить в одинаковых единицах, чтобы сравнение было корректным.

1. Запишем теорему Пифагора для диагонали d прямоугольника: d² = 6² + 8².
2. Вычислим: d² = 36 + 64 = 100, значит, d = 10 см. Берём положительный корень, поскольку длина не бывает отрицательной.
3. Для круга применим формулу диаметра: d = 2R = 2 · 5 = 10 см. Сравниваем полученные значения: они равны.

Ответ: диаметр прямоугольника равен 10 см, диаметр круга — 10 см; диаметры одинаковы.

Оценка диаметра фигуры внутри круга

Условие. Докажите, что диаметр любой фигуры, содержащейся в круге радиуса R, не превосходит 2R, и укажите условие равенства. Здесь надо сравнить расстояние между произвольными точками фигуры с наибольшим возможным расстоянием внутри всего круга. Равенство потребует, чтобы предельное расстояние круга действительно встречалось в самой фигуре.

1. Возьмём любые две точки фигуры. Поскольку фигура содержится в круге, обе точки принадлежат этому кругу.
2. Расстояние между любыми двумя точками круга не больше его диаметра 2R. Значит, ни одна пара точек фигуры не удалена больше чем на 2R, откуда d(F) ≤ 2R.
3. Равенство достигается, если фигура содержит две противоположные точки ограничивающего круга на его границе: расстояние между ними равно 2R. Если таких точек в фигуре нет, диаметр может быть меньше.

Ответ: d(F) ≤ 2R; равенство возможно, когда в фигуре есть противоположные точки ограничивающего круга.

Типичные ошибки

Путают диаметр с радиусом. Тогда вместо d = 2R записывают d = R, смешивая расстояние от центра до окружности с расстоянием между противоположными точками. Проверьте смысл: диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому он вдвое больше радиуса.

Считают любую фигуру конечной длины ограниченной. Ограниченность означает, что вся фигура помещается в одном круге конечного радиуса, а не то, что у неё есть какие-то конечные отрезки или отдельные части. Для проверки ищите один круг, содержащий все точки фигуры; прямая и луч, например, в такой круг не поместятся.

Путают окружность и круг. Окружность включает только граничные точки, а круг — ещё и внутреннюю область. Поэтому, описывая фигуру или выбирая её точки, уточняйте, о какой из них идёт речь; при этом их диаметры совпадают и равны 2R.

Принимают сумму сторон прямоугольника за диаметр. Сумма сторон описывает путь вдоль границы, а диаметр — прямое расстояние между наиболее удалёнными точками. Проверьте себя по диагонали: для сторон a и b её длина равна √(a² + b²), а не сумме сторон.

Связь с другими темами

Для работы с диаметром понадобятся расстояние между точками, понятия радиуса, круга и окружности, а также теорема Пифагора. Диаметр прямоугольника показывает, как теорема Пифагора помогает находить наибольшее расстояние внутри фигуры. Позже оценки диаметра пригодятся при изучении многоугольников, окружностей и координатной геометрии. Связь включения фигур с неравенством d(F) ≤ d(G) позволяет доказывать геометрические оценки без точного описания каждой точки.

Что запомнить

• Ограниченная фигура целиком помещается в некоторый круг конечного радиуса.
• Диаметр фигуры — наибольшее расстояние между двумя её точками.
• Диаметр окружности и круга радиуса R равен 2R.
• Диаметр отрезка равен длине отрезка.
• Прямая и луч являются неограниченными фигурами.
• Диаметр фигуры, содержащейся в другой фигуре, не больше диаметра большей фигуры.