16.2. Опорная плоскость

Определения и обозначения

Опорная плоскость выпуклого тела проходит через граничную точку тела и оставляет всё тело в одном из двух замкнутых полупространств, на которые плоскость делит пространство. Замкнутое полупространство включает саму плоскость, поэтому тело может иметь с ней общие точки. Определение позволяет отличить касание от обычного пересечения.

Точка опоры — общая точка опорной плоскости и тела. Однако плоскость может иметь с телом и другие общие точки: например, касаться не только вершины, но и целого ребра. Это название удобно, когда нужно обозначить конкретное место соприкосновения.

Опорная плоскость многогранника содержит его грань либо проходит через вершину или ребро, при этом весь многогранник остаётся по одну сторону от плоскости. Само прохождение через вершину или ребро ещё не гарантирует опорность: надо проверить остальные части многогранника. Это определение помогает находить настоящие плоскости-границы многогранника.

Опорная прямая выпуклой фигуры касается фигуры и оставляет её в одной из двух замкнутых полуплоскостей. Она играет на плоскости ту же роль, что опорная плоскость в пространстве. Сопоставление помогает увидеть общую идею: граница касается выпуклой фигуры, не рассекая её на части.

Как это устроено

Условие опорности ограничивает расположение тела: его точки не должны оказаться по разные стороны плоскости. Если плоскость пересекает тело насквозь, часть тела окажется в каждом из двух полупространств, поэтому такую плоскость опорной назвать нельзя. При этом точки на самой плоскости допустимы, поскольку полупространства замкнуты. Значит, решающим является не число точек соприкосновения, а отсутствие точек тела по противоположную сторону.

Связь с выпуклостью объясняет, почему положение вершин достаточно для проверки многогранника. Выпуклость означает, что вместе с любыми двумя точками тела ему принадлежит весь отрезок между ними. Если обе точки находятся в одном полупространстве, соединяющий их отрезок тоже не может выйти за него: полупространство выпукло. Поэтому, когда все вершины многогранника лежат в одном замкнутом полупространстве, его рёбра, грани и весь многогранник остаются там же.

Плоскость грани выпуклого многогранника является опорной: грань лежит в плоскости, а остальная часть многогранника находится с одной её стороны. Если же плоскость проходит через отдельную вершину или ребро, нужно проверить расположение остальных вершин. Причина в том, что одна точка или даже ребро могут лежать в плоскости, а другие вершины — по разные стороны от неё. В таком случае плоскость рассекает многогранник и опорной не является.

Общая часть опорной плоскости с телом не обязана быть одной точкой. Для многогранника плоскость может касаться его в вершине, проходить по ребру или содержать целую грань. Именно поэтому слово «касается» здесь не означает обязательного соприкосновения в единственной точке. Форма общей части зависит от того, какие вершины многогранника лежат в плоскости и как они соединены.

Для координатной проверки запишите уравнение плоскости, например ax + by + cz − d = 0, и вычислите значение выражения ax + by + cz − d для каждой вершины. Одинаковый знак у всех ненулевых значений показывает, что вершины лежат в одном полупространстве; нули соответствуют вершинам в плоскости. Благодаря выпуклости проверка вершин распространяется на весь многогранник. Если среди результатов есть и положительные, и отрицательные, плоскость не опорная.

Сравнение секущей и опорной плоскостей многогранника

Для сравнения сначала выясните, лежат ли вершины по обе стороны плоскости. Затем посмотрите, пересекает ли плоскость многогранник насквозь или только касается его границы. Нулевые значения при координатной проверке указывают, какие вершины принадлежат плоскости, но для определения общей части учитывайте также рёбра между ними.

Разбор задач

Опорные плоскости куба

Условие. Назвать опорные плоскости куба и указать их общие части с кубом. Ищем плоскости, которые касаются куба снаружи, не разделяя его внутренность. Грани подходят, поскольку каждая из них лежит на границе куба.

1. У куба шесть граней, и у каждой есть плоскость, содержащая эту грань.
2. Относительно плоскости каждой грани весь куб лежит с одной стороны. Точки самой грани лежат в плоскости, что допускается определением опорной плоскости.
3. Плоскость грани пересекает куб ровно по этой грани, а не только в одной точке или по ребру.

Ответ. Опорные плоскости куба — плоскости его шести граней; общая часть каждой с кубом — соответствующая грань.

Плоскость грани тетраэдра

Условие. Доказать, что плоскость грани тетраэдра является опорной. Пусть выбрана грань ABC, а D — противоположная вершина. Достаточно выяснить, по какую сторону плоскости ABC находится D.

1. Точка D не лежит в плоскости ABC, иначе четыре вершины тетраэдра были бы в одной плоскости.
2. Следовательно, D находится в одном из полупространств относительно плоскости грани. Вся грань ABC лежит в самой плоскости.
3. Тетраэдр выпуклый и состоит из точки и граней, расположенных между вершиной D и гранью ABC. Поэтому его точки не выходят в противоположное полупространство.

Ответ. Плоскость грани ABC — опорная, а её общая часть с тетраэдром равна грани ABC.

Проверка плоскости по координатам

Условие. Для заданного координатами выпуклого многогранника проверить, является ли плоскость 2x − y + z = 4 опорной, и определить общую часть. Координаты вершин в условии не перечислены, поэтому результат зависит от них. Проверку можно выполнить по следующему алгоритму.

1. Перенесите 4 в левую часть и для каждой вершины (x, y, z) вычислите значение F = 2x − y + z − 4.
2. Сравните значения F для всех вершин. Если есть положительные и отрицательные значения, вершины расположены по разные стороны и плоскость не опорная.
3. Если все значения одного знака или равны нулю, плоскость опорная. Вершины с F = 0 лежат в ней; их соединяющие рёбра и грани, если они есть, определяют общую часть.

Ответ. Без координат вершин нельзя установить конкретный результат. Плоскость опорная тогда и только тогда, когда значения F у всех вершин имеют один знак или равны нулю; общую часть образуют части многогранника в плоскости F = 0.

Типичные ошибки

Ошибка — считать опорной любую плоскость, проходящую через точку тела. Через такую точку можно провести и плоскость, которая рассекает тело, так что его точки окажутся по обе стороны. Проверяйте не только наличие общей точки, но и положение всего тела относительно плоскости.

Ошибка — проверить положение только одной вершины многогранника. Одна вершина может быть по нужную сторону, тогда как другие окажутся по другую, и плоскость будет секущей. Для проверки подставьте координаты всех вершин или установите их положение геометрически.

Ошибка — требовать, чтобы опорная плоскость пересекала многогранник только в одной точке. Такое требование слишком строго: общая часть может быть ребром или гранью, например у плоскости грани куба. Проверьте условие о расположении многогранника по одну сторону, а затем отдельно определите форму общей части.

Ошибка — понимать полупространство как открытое и запрещать телу лежать в плоскости. Так можно ошибочно отвергнуть плоскость грани, хотя сама грань и должна в ней находиться. При проверке учитывайте, что полупространство замкнуто и включает границу; нулевые значения выражения допустимы.

Связь с другими темами

Для понимания опорной плоскости нужны понятия выпуклого тела, плоскости и полупространства. При работе с многогранниками понадобятся также вершины, рёбра и грани: они показывают, какие части могут лежать в плоскости. Свойство выпуклости объясняет, почему достаточно проверить вершины.

Опорные плоскости помогают изучать выпуклые многогранники, их грани и сечения. Сравнение с секущей плоскостью позволяет установить, рассекает ли плоскость тело или только касается его границы. Это полезно и в доказательствах о расположении тел в пространстве.

Что запомнить

• Опорная плоскость проходит через тело и оставляет его целиком в одном замкнутом полупространстве.
• Точки тела могут лежать в самой опорной плоскости.
• Общая часть опорной плоскости и многогранника может быть вершиной, ребром или гранью.
• Плоскость каждой грани выпуклого многогранника является опорной.
• Для проверки опорности многогранника достаточно проверить расположение всех его вершин.
• Если среди вершин есть точки по разные стороны плоскости, она не является опорной.