16.1. Опорная прямая

Определения и обозначения

Выпуклая фигура — фигура, для любых двух её точек весь соединяющий их отрезок принадлежит фигуре. Иными словами, внутри фигуры не возникает «провалов», из-за которых часть такого отрезка оказалась бы снаружи. Это свойство нужно, чтобы говорить об опорной прямой именно как о прямой, поддерживающей фигуру с одной стороны. Для невыпуклой фигуры одного такого описания может быть недостаточно.

Опорная прямая к выпуклой фигуре — прямая, относительно которой фигура целиком лежит в одной из двух замкнутых полуплоскостей. Кроме того, прямая должна иметь с фигурой хотя бы одну общую точку. Поэтому она не просто отделена от фигуры, а проходит по её границе или касается её. Это определение позволяет отличить опорную прямую от секущей.

Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её делит прямая. Когда говорят о замкнутой полуплоскости, её границу, то есть саму прямую, включают в эту часть. Это уточнение необходимо: точки фигуры на опорной прямой не должны исключаться из рассматриваемой полуплоскости. Именно поэтому в определении допускается, что фигура лежит на прямой.

Точка касания опорной прямой — точка фигуры, принадлежащая этой прямой. Такое название особенно привычно для круга, где касательная имеет одну общую точку с кругом. Но у других выпуклых фигур общих точек может быть несколько, например целая сторона многоугольника. Следовательно, слово «касание» не означает, что общая точка обязательно ровно одна.

Как это устроено

Условие «фигура находится по одну сторону от прямой» показывает, что прямая не пересекает её насквозь. Если точки фигуры оказываются по обе стороны, то часть фигуры лежит с каждой стороны линии, и прямая становится секущей, а не опорной. Но расположения по одну сторону недостаточно: прямая может пройти далеко от фигуры и не иметь с ней общих точек. Поэтому в определении нужны оба условия: одна полуплоскость и хотя бы одна общая точка.

Рассмотрим круг и касательную к нему в точке A. Касательная проходит через A, значит, эта точка принадлежит и кругу, и прямой. Остальные точки круга не оказываются по другую сторону касательной: весь круг помещается в одной замкнутой полуплоскости. Это связано с тем, что касательная касается границы, но не проходит через внутренность круга. Значит, выполнены оба условия опорной прямой.

У выпуклого многоугольника можно рассмотреть прямую, содержащую одну из его сторон. В силу выпуклости многоугольник не «заворачивает» вокруг этой прямой: остальные вершины находятся в одной полуплоскости, возможно, некоторые лежат на самой прямой. Тогда и весь многоугольник находится там же, потому что он состоит из своих сторон и точек внутри. Поэтому прямая каждой стороны выпуклого многоугольника является опорной.

Опорная прямая не обязана иметь с фигурой ровно одну общую точку. Например, если прямая содержит сторону многоугольника, то все точки этой стороны принадлежат и фигуре, и прямой. При этом остальные точки многоугольника остаются в одной полуплоскости. Круг устроен иначе: его касательная имеет с ним только одну общую точку, но определение допускает оба случая.

Если A — граничная точка выпуклой фигуры, можно искать прямую через A, которая оставляет фигуру в одной полуплоскости. Если такая прямая найдена, она опорная: общая точка A уже есть, остаётся проверить расположение всей фигуры. Для выпуклых фигур в граничной точке существует поддерживающая прямая. Однако не всякая прямая через A подходит: некоторые прямые могут пересечь фигуру и оставить её части по разные стороны.

Опорные прямые для выпуклых фигур

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала найдите общую точку прямой с фигурой, затем проверьте, по одну ли сторону лежит фигура. В строках про круг и многоугольник указаны типичные случаи, а последняя строка помогает отличить опорную прямую от секущей. Одна общая точка сама по себе ещё не означает, что прямая опорная.

Разбор задач

Задача 1. Дан круг и прямая, касающаяся его в точке A. Объясните, почему эта прямая опорная.

1. Проверяем общую точку: по условию касательная касается круга в A, поэтому A принадлежит и кругу, и прямой.

2. Проверяем расположение круга: касательная не проходит через внутренность круга, поэтому весь круг находится в одной из замкнутых полуплоскостей.

3. Оба условия определения выполнены: есть общая точка и фигура расположена по одну сторону. Ответ: касательная является опорной прямой круга.

Задача 2. Для выпуклого четырёхугольника укажите опорные прямые, содержащие его стороны, и обоснуйте ответ.

1. Обозначим вершины четырёхугольника по порядку A, B, C, D. Рассматриваем прямые AB, BC, CD и DA — каждая содержит одну сторону и потому имеет с фигурой общие точки.

2. Для прямой AB проверяем, что вершины C и D находятся в одной полуплоскости относительно неё. Это верно для выпуклого четырёхугольника; аналогично проверяем прямые BC, CD и DA.

3. Если остальные вершины лежат в одной полуплоскости, весь выпуклый четырёхугольник лежит там же. Ответ: опорные прямые — AB, BC, CD и DA.

Задача 3. Дана выпуклая фигура и её граничная точка A. Как проверить, является ли проведённая через A прямая опорной?

1. Уже известно, что точка A принадлежит фигуре и прямой, значит, общая точка есть.

2. Выясняем, по какую сторону от прямой находятся остальные точки фигуры. Если часть фигуры расположена с одной стороны, а часть — с другой, прямая пересекает фигуру насквозь.

3. Если вся фигура содержится в одной замкнутой полуплоскости, оба условия выполнены. Ответ: прямая опорная тогда и только тогда, когда фигура целиком находится по одну её сторону; одной точки A недостаточно.

Типичные ошибки

Ошибка: называть опорной любую прямую, имеющую с фигурой общую точку. Так рассуждают, потому что замечают пересечение, но забывают вторую часть определения. Проверьте, есть ли точки фигуры по обе стороны прямой: если есть, она не опорная. Например, секущая круга тоже имеет общие точки с кругом.

Ошибка: считать, что опорная прямая касается фигуры ровно в одной точке. Такой вывод часто переносят с касательной к кругу на все фигуры. Проверьте, не лежит ли на прямой целый отрезок границы: у многоугольника так может располагаться сторона. Несколько общих точек не мешают прямой быть опорной.

Ошибка: исключать саму прямую из полуплоскости. Это происходит, если забыть, что в определении используется замкнутая полуплоскость. Тогда точки фигуры, лежащие на опорной прямой, ошибочно оказываются «вне» неё. Проверьте, включена ли граница полуплоскости: она должна включать прямую.

Ошибка: применять определение к невыпуклой фигуре, не проверив её выпуклость. У такой фигуры могут быть выступы или углубления, поэтому условие расположения по одну сторону не всегда описывает ожидаемое касание. Сначала проверьте, что отрезок между любыми двумя точками фигуры целиком ей принадлежит. Если это не так, используйте определение и свойства именно для рассматриваемого случая, не перенося выводы о выпуклых фигурах автоматически.

Связь с другими темами

Перед изучением опорных прямых нужно уметь различать прямую и полуплоскости, которые она задаёт, а также знать определение выпуклой фигуры. Это помогает проверять оба условия: наличие общей точки и расположение фигуры в одной замкнутой полуплоскости. Понятие пригодится при изучении касательных к окружности и свойств выпуклых многоугольников. В частности, оно объясняет, почему прямая стороны выпуклого многоугольника поддерживает его с одной стороны.

Что запомнить

• Опорная прямая имеет с фигурой хотя бы одну общую точку.
• Вся выпуклая фигура лежит в одной замкнутой полуплоскости относительно опорной прямой.
• Касательная к кругу является его опорной прямой.
• Опорная прямая может содержать несколько точек фигуры.
• Общая точка с фигурой сама по себе ещё не делает прямую опорной.