§ 16. Опорная плоскость

Определения и обозначения

Опорная плоскость — плоскость, которая имеет общие точки с многогранником и оставляет весь многогранник в одном замкнутом полупространстве. Замкнутое полупространство включает и ограничивающую его плоскость. Это определение позволяет отличить касание от пересечения многогранника плоскостью.

Выпуклый многогранник — многогранник, в котором отрезок между любыми двумя его точками целиком принадлежит многограннику. Иначе говоря, внутри такой фигуры нет «вмятин». Выпуклость нужна, чтобы по положению вершин судить о положении всего многогранника.

Опорная грань — часть многогранника, лежащая в опорной плоскости. В зависимости от положения плоскости этой частью может оказаться целая грань, ребро или одна вершина. Термин помогает точно назвать, где именно происходит касание.

Опорное полупространство — полупространство, которое содержит многогранник и ограничено его опорной плоскостью. Плоскость служит границей, а многогранник располагается с одной её стороны. Это название удобно, когда нужно указать, какое из двух полупространств рассматривается.

Как это устроено

Одного пересечения плоскости с многогранником недостаточно: секущая плоскость тоже имеет с ним общие точки, но проходит через его внутренность. Поэтому в определении соединены два условия: общая точка должна существовать, а весь многогранник должен находиться в одном замкнутом полупространстве. Первое условие исключает плоскость, которая просто лежит рядом, а второе отделяет касание от разреза фигуры.

У выпуклого многогранника плоскость, имеющая с ним общую точку и не проходящая через внутренность, не может пересечь его и продолжить путь внутрь, оставаясь без пересечения с внутренними точками. Причина в том, что многогранник не имеет вмятин: от граничных точек к внутренним ведут отрезки, принадлежащие фигуре. Поэтому касающаяся плоскость оставляет выпуклый многогранник по одну сторону от себя.

Если плоскость содержит грань выпуклого многогранника, то сама грань уже даёт общие точки. Остальные точки многогранника находятся с одной стороны от этой плоскости: иначе отрезки, соединяющие точки по разные стороны, пересекли бы внутренность многогранника в плоскости. Значит, плоскость грани удовлетворяет обоим условиям опорности.

Вид опорной части зависит от того, сколько точек многогранника и как они расположены в плоскости. Совпадение с целой многоугольной гранью означает касание по грани, а общая часть в виде отрезка — касание по ребру. Если общей точкой является только одна вершина, плоскость касается многогранника в этой вершине; во всех случаях остальная фигура остаётся в одном полупространстве.

Чтобы установить положение выпуклого многогранника, достаточно проверить его вершины. Каждая точка многогранника лежит в выпуклой оболочке вершин, то есть получается из них как их выпуклая комбинация. Если все вершины находятся по одну сторону плоскости, то и такие комбинации не могут оказаться по другую сторону. Это рассуждение опирается на выпуклость; без неё одни вершины не описывали бы надёжно положение всей фигуры.

Взаимное положение опорной плоскости и выпуклого многогранника

Пользуйтесь таблицей, сначала устанавливая, какие точки многогранника принадлежат плоскости, а затем проверяя, не пересекает ли она внутренность. Если плоскость содержит внутреннюю точку, она не может быть опорной. Если общая часть находится на границе, назовите её: грань, ребро или вершина.

Разбор задач

Плоскости граней куба

Условие. Для куба ABCDA₁B₁C₁D₁ определить, какие из плоскостей его граней являются опорными, и назвать соответствующие опорные грани. Нужно проверить не только наличие общей части, но и положение остальных вершин куба относительно каждой плоскости. У куба все шесть граней лежат на граничных плоскостях.

1. Возьмём плоскость ABCD. Она содержит нижнюю грань куба, а вершины A₁, B₁, C₁, D₁ находятся по одну сторону от неё.
2. Аналогично для каждой из остальных пяти граней: её плоскость содержит эту грань, а четыре вершины противоположной грани лежат по одну сторону от плоскости.
3. Значит, каждая плоскость грани имеет общие точки с кубом и оставляет весь куб в одном полупространстве. По определению каждая из них опорная.

Ответ. Опорными являются все шесть плоскостей граней куба. Соответствующие опорные грани — ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁.

Плоскость через ребро

Условие. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро выпуклого многогранника и не пересекающая его внутренность, является опорной. Ребро уже гарантирует наличие общих точек, поэтому остаётся обосновать, что весь многогранник не разбросан по обе стороны плоскости. Это ключевая проверка определения.

1. Обозначим плоскость через α, а концы ребра — A и B. Поскольку A и B принадлежат α, весь отрезок AB, то есть ребро, является общей частью плоскости и многогранника.
2. Предположим, что у многогранника есть точки по обе стороны α. Так как многогранник выпуклый, отрезок между такими точками целиком принадлежит ему.
3. Этот отрезок пересекает α, причём при переходе из одного полупространства в другое его точка пересечения окажется внутри многогранника. Это противоречит условию, что плоскость не пересекает внутренность.
4. Следовательно, точек по разные стороны быть не может. Весь многогранник лежит в одном замкнутом полупространстве, а общие точки уже найдены на ребре.

Ответ. α — опорная плоскость, а ребро AB входит в её опорную часть. Здесь использованы оба условия: наличие общей части и расположение всего многогранника по одну сторону.

Проверка по координатам вершин

Условие. По координатам вершин выпуклого многогранника установить, является ли плоскость 2x + y − z = 3 опорной, и определить пересечение. В условии не приведены сами координаты, поэтому получить конкретное «да» или «нет» и назвать вершины пересечения нельзя. Однако проверка выполняется одним и тем же способом для любого набора координат.

1. Для каждой вершины (xᵢ, yᵢ, zᵢ) вычислите sᵢ = 2xᵢ + yᵢ − zᵢ − 3. Знак sᵢ показывает, с какой стороны плоскости лежит вершина, а sᵢ = 0 означает, что вершина принадлежит плоскости.
2. Сравните все значения. Если среди них есть и положительные, и отрицательные, плоскость проходит через внутренность выпуклого многогранника и не является опорной.
3. Если все значения одного знака или равны нулю, все вершины находятся в одном замкнутом полупространстве. По выпуклости там же лежит весь многогранник; при наличии хотя бы одного нулевого значения плоскость имеет с ним общие точки.
4. Для описания пересечения найдите вершины с sᵢ = 0. Если таких вершин две и они соединены ребром, это ребро лежит в плоскости; одна такая вершина может быть точкой касания.

Ответ. Без координат вершин однозначно определить опорность и пересечение невозможно. После подстановки нулевые значения укажут возможные общие вершины, а смешанные знаки опровергнут опорность.

Типичные ошибки

Ошибка 1: считать опорной любую плоскость, пересекающую многогранник. Так путают касание с сечением: секущая плоскость тоже имеет общие точки с фигурой. Проверьте, проходит ли плоскость через внутренние точки; если да, опорной она не является.

Ошибка 2: забывать, что общая точка обязательна. Если весь многогранник лежит по одну сторону от плоскости, это ещё не означает опорность: плоскость может просто не касаться фигуры. Проверьте, принадлежит ли ей хотя бы одна точка многогранника.

Ошибка 3: утверждать, что опорная плоскость обязательно содержит грань. Обычно запоминают частый случай — плоскость грани — и ошибочно считают его единственным. Найдите всю общую часть: ею могут быть ребро или вершина, и тогда плоскость всё равно может быть опорной.

Ошибка 4: проверять только несколько вершин. Удобные для расчёта вершины могут дать одинаковые знаки, хотя непроверенная вершина окажется по другую сторону. Для выпуклого многогранника проверьте все вершины и объясните, что выпуклость переносит этот вывод на весь многогранник.

Связь с другими темами

Для работы с опорной плоскостью нужны понятия плоскости, полупространства, грани, ребра, многогранника и выпуклого множества. Тема продолжает изучение выпуклых многогранников и помогает анализировать их сечения и взаимное расположение с плоскостями. Она также связана с задачами на отделение фигур плоскостью: опорная плоскость отделяет многогранник от точек, лежащих по другую сторону. Позже похожая идея используется при изучении выпуклых тел и многогранных углов.

Что запомнить

• Опорная плоскость имеет общие точки с многогранником.
• Весь многогранник лежит в одном замкнутом полупространстве относительно опорной плоскости.
• Опорная плоскость не проходит через внутренние точки многогранника.
• Она может поддерживать многогранник по грани, ребру или вершине.
• Для выпуклого многогранника положение плоскости можно проверять по его вершинам.
• Плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника, является опорной.