18 :4. Выпуклые цилиндры

Определения и обозначения

Выпуклый цилиндр — тело, образованное прямыми, параллельными заданному направлению и пересекающими выпуклую плоскую фигуру. Выпуклая фигура — такая, что вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок между ними. Направление не должно быть параллельно плоскости фигуры, иначе прямые не образуют цилиндр с двумя основаниями в параллельных плоскостях. Это определение описывает цилиндр шире, чем привычное представление о круглой трубе.

Основание цилиндра — выпуклая плоская фигура, через которую задают цилиндр. У ограниченного цилиндра два основания, лежащие в параллельных плоскостях. Второе получается переносом первого вдоль выбранного направления, поэтому основания равны. Это понятие помогает описать форму тела и его сечения.

Образующая цилиндра — прямая выбранного направления, проходящая через точку основания. Все образующие параллельны, поскольку имеют одно и то же направление. В ограниченной части цилиндра рассматривают конечные отрезки этих прямых между плоскостями оснований. Образующая показывает, как именно одно основание смещено относительно другого.

Боковая поверхность цилиндра — поверхность, составленная из образующих, проходящих через границу основания. Через внутренние точки основания тоже проходят прямые того же направления, но они лежат внутри тела и не входят в его внешнюю боковую оболочку. Поэтому боковая поверхность определяется именно границей. Если основание — многоугольник, эта поверхность распадается на плоские боковые грани.

Как это устроено

Сначала выбирают выпуклую фигуру в плоскости и направление, не параллельное этой плоскости. Через каждую точку фигуры проводят прямую в выбранном направлении, так что все полученные прямые параллельны. Если ограничить их двумя плоскостями, параллельными плоскости основания, получится конечное тело с двумя основаниями. Такой способ построения показывает, что форма цилиндра зависит и от основания, и от направления.

Выпуклость основания нужна не только для названия: она гарантирует выпуклость всего тела. Возьмём две точки цилиндра и проведём через них отрезок. При движении вдоль направления образующих точки этого отрезка соответствуют точкам внутри отрезка, соединяющего их положения в плоскости основания. Поскольку основание выпукло, такие точки остаются в нём, а значит, весь отрезок остаётся в цилиндре.

Плоскости ограниченного цилиндра, отсекающие его основания, параллельны друг другу. Перенос вдоль образующих переводит одну плоскость в другую и каждую точку основания — в соответствующую точку второго основания. Перенос сохраняет расстояния и форму, поэтому основания равны, даже если цилиндр наклонён. Это также объясняет, почему основания не обязаны располагаться одно строго над другим.

Образующие через внутренние точки основания не видны на внешней оболочке: вокруг них есть другие части тела. Иначе обстоит дело с точками границы — через них проходят крайние прямые, отделяющие цилиндр от внешнего пространства. Поэтому боковую поверхность составляют именно эти крайние образующие. Для многоугольного основания прямые над каждой его стороной лежат в одной плоскости и образуют боковую грань.

Если направление образующих перпендикулярно плоскости основания, цилиндр называют прямым; если нет — наклонным. Наклон меняет положение второго основания относительно первого, но не меняет параллельность образующих. Поэтому у прямого и наклонного цилиндров сохраняется общий способ построения и оба основания остаются равными. Различие касается угла образующих к основаниям, а не самого определения цилиндра.

Элементы выпуклого цилиндра и их свойства

В таблице сопоставлены элементы цилиндра, способ их определения и ключевое свойство. Сначала найдите в условии, какое основание задано и в каком направлении проведены прямые. Затем по этому направлению определите положение второго основания и образующих. Так удобнее различать внешнюю боковую поверхность и внутренние части тела.

Разбор задач

Задача 1. Дана выпуклая плоская фигура и направление, не параллельное её плоскости. Опишите, какое тело получится, если через каждую точку фигуры провести прямую в заданном направлении.

1. По определению через точки фигуры проходят параллельные прямые одного направления.
2. Выделим участок этих прямых между исходной плоскостью и параллельной ей плоскостью. Исходная фигура и её перенос во вторую плоскость станут основаниями.
3. Прямые через граничные точки фигуры образуют боковую поверхность; прямые через внутренние точки проходят внутри тела.

Ответ. Получится ограниченный выпуклый цилиндр с равными основаниями, образующими заданного направления и боковой поверхностью над границей фигуры.

Задача 2. Основание цилиндра — выпуклый многоугольник. Определите, сколько боковых граней образуется и с какими сторонами основания они связаны.

1. Каждая сторона многоугольника является частью границы основания.
2. Через все точки одной стороны проводят параллельные образующие. Они лежат в одной плоскости, потому что начинаются на одной прямой и параллельны друг другу.
3. Полученная плоская часть боковой поверхности — одна боковая грань. Разным сторонам соответствуют разные грани.

Ответ. Боковых граней столько же, сколько сторон у основания; каждой стороне соответствует грань, образованная проходящими через неё образующими.

Задача 3. Выпуклый цилиндр пересечён плоскостью, параллельной плоскостям оснований. Обоснуйте, как расположено полученное сечение и как оно связано с основаниями.

1. Плоскость сечения параллельна основаниям, поэтому она пересекает образующие цилиндра.
2. Точки пересечения соответствуют точкам основания, перенесённым вдоль параллельных образующих на одно и то же положение между основаниями.
3. Такой перенос сохраняет форму и размеры фигуры. Поэтому сечение получается равным основанию и лежит в плоскости, параллельной обоим основаниям.

Ответ. Сечение параллельно основаниям и равно им; оно получается переносом основания вдоль образующих.

Типичные ошибки

Считать, что цилиндр обязательно имеет круглые основания, — значит принять частный случай за общее определение. Так думают из-за привычных круглых предметов и формул для кругового цилиндра. Проверьте себя: в определении требуется выпуклая плоская фигура, а не круг. Например, основанием может быть выпуклый многоугольник.

Неверно требовать, чтобы образующие были перпендикулярны основаниям. Это свойство прямого цилиндра, но у наклонного образующие идут под углом. Ошибка возникает, когда слово «цилиндр» связывают только с прямой круглой моделью. Проверьте, задано ли в условии слово «прямой»: если нет, перпендикулярность нельзя предполагать.

Не следует называть боковой поверхностью всё тело или все образующие над основанием. Внутренние образующие проходят внутри цилиндра, а не по его внешней оболочке. Это смешивают, потому что цилиндр действительно строится прямыми через все точки основания. Для проверки найдите границу основания: только проходящие через неё крайние образующие задают боковую поверхность.

Ещё одна ошибка — считать подходящим любое плоское множество в качестве основания. В теме рассматривается выпуклый цилиндр, поэтому основание должно быть выпуклым: отрезок между любыми двумя его точками не выходит за пределы фигуры. Выпуклость иногда упускают, сосредоточившись на направлении образующих. Проверьте условие на отрезках; если хотя бы один выходит из фигуры, основание не подходит для этого определения.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндров нужно знать, что такое выпуклая фигура, плоскость и прямая, а также понимать параллельность в пространстве. Эти понятия помогают описать основания и направление образующих без опоры на рисунок. Позже цилиндрическое представление пригодится при изучении тел вращения и сечений многогранников. Умение различать основание, боковую поверхность и сечение помогает анализировать пространственные тела.

Что запомнить

• Выпуклый цилиндр строится по выпуклому плоскому основанию и заданному направлению.
• Все образующие цилиндра параллельны друг другу.
• Основания ограниченного цилиндра лежат в параллельных плоскостях.
• Основания равны и переходят одно в другое параллельным переносом.
• Боковая поверхность состоит из образующих над границей основания.
• Образующие наклонного цилиндра не обязаны быть перпендикулярны основаниям.