18.3. Симметрия цилиндра вращения

Определения и обозначения

Цилиндр вращения — тело, ограниченное боковой поверхностью и двумя равными кругами, лежащими в параллельных плоскостях. Прямую, проходящую через центры кругов, называют осью цилиндра, расстояние между основаниями — его высотой, а точку на оси посередине между основаниями — серединой цилиндра. Эти понятия помогают описывать расположение частей тела и проверять, сохраняют ли его преобразования.

Симметрия тела — это движение пространства, при котором тело переходит в себя, то есть после преобразования занимает прежнее место и совпадает с собой. Движением здесь называют, например, поворот или отражение. Это определение задаёт общий способ проверки: нужно проследить, куда переходят все точки тела, а не только его отдельные части.

Ось симметрии тела — прямая, относительно которой поворот на некоторый ненулевой угол переводит тело в себя. Угол не обязан быть произвольным: для разных осей одного тела могут подходить разные повороты. Поэтому осью симметрии цилиндра могут быть как его главная ось, так и некоторые поперечные прямые.

Плоскость симметрии — плоскость, при отражении относительно которой тело совмещается само с собой. Центр симметрии — точка, относительно которой центральная симметрия переводит тело в себя; при таком преобразовании точка тела переходит на противоположную сторону от центра на равное расстояние. Эти термины различают виды симметрии и помогают не смешивать отражение в плоскости с поворотом или центральной симметрией.

Как это устроено

Если повернуть цилиндр вокруг его оси на любой угол, круговые основания останутся на прежних местах: каждый круг при повороте вокруг своего центра совпадает с собой. Точки боковой поверхности также переместятся по кругам вокруг оси, не меняя расстояния до неё и высоты. Поэтому вся боковая поверхность и оба основания сохраняются, а главная ось цилиндра является осью симметрии при любом угле поворота.

Рассмотрим плоскость, содержащую ось цилиндра. В каждом круговом сечении, параллельном основаниям, эта плоскость проходит через центр круга и делит его по диаметру. Отражение относительно диаметра переводит круг в себя, а точки боковой поверхности — в соответствующие точки на другой стороне плоскости. Так сохраняются все сечения и тело целиком, поэтому каждая плоскость через ось является плоскостью симметрии.

Теперь возьмём плоскость, перпендикулярную оси и проходящую через середину цилиндра. При отражении точки выше неё переходят на такое же расстояние ниже, а точки ниже — выше. Основания оказываются на местах друг друга, поскольку находятся на равных расстояниях от этой плоскости; боковая поверхность также переходит в себя. Если сместить плоскость к одному из оснований, расстояния до оснований станут разными, и отражение уже не сможет поменять их местами.

Центральная симметрия относительно середины цилиндра тоже меняет верхнюю и нижнюю части местами. Каждая точка переходит на противоположную сторону от середины, сохраняя расстояние до неё, поэтому одно основание переходит в другое, а боковая поверхность — в себя. Следовательно, середина цилиндра является центром симметрии. Это преобразование можно представить как поворот на 180° вокруг точки, но его не следует путать с отражением в плоскости.

Пусть через середину цилиндра проведена прямая, перпендикулярная его главной оси. Поворот на 180° вокруг этой поперечной прямой меняет направление вдоль цилиндра на противоположное: основания переходят друг в друга, а точки между ними остаются внутри тела. Круговые сечения при этом тоже переходят в равные сечения на другой высоте. Такая прямая — ось симметрии для поворота на 180°, но она не равнозначна главной оси, вокруг которой подходят повороты на любой угол.

Симметрии цилиндра вращения

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое преобразование рассматривается: поворот, отражение или центральная симметрия. Затем проверьте расположение оси, плоскости или точки и проследите, куда переходят основания и круговые сечения. Так можно обосновать сохранение всего цилиндра, а не только его отдельных элементов.

Разбор задач

1. Симметрии, связанные с главной осью

Условие. Перечислите симметрии цилиндра вращения, связанные с его главной осью. Под «связанными» здесь понимаются преобразования, в которых главная ось непосредственно задаёт направление поворота или входит в плоскость отражения. Решение. Перечислим их, опираясь на поведение круговых сечений и оснований.

1. Поворот вокруг главной оси на любой угол сохраняет оба основания: центр каждого круга лежит на оси, а круг при вращении вокруг центра совпадает с собой.
2. Боковая поверхность также сохраняется, потому что её точки при повороте остаются на тех же расстояниях от оси и на тех же высотах. Значит, главная ось — ось симметрии.
3. Любая плоскость, содержащая главную ось, пересекает каждое поперечное круговое сечение по диаметру. Отражение в этой плоскости сохраняет все круги и боковую поверхность.
4. Кроме того, плоскость через середину цилиндра, перпендикулярная главной оси, является плоскостью симметрии: она меняет основания местами. Середина цилиндра — центр симметрии, хотя сама точка, в отличие от оси или плоскости, не задаёт отражение.

Ответ. С главной осью связаны повороты на любой угол вокруг неё, плоскости симметрии, содержащие её, а также срединная плоскость, перпендикулярная ей, и центральная симметрия относительно середины цилиндра. Отдельно существуют поперечные оси поворота на 180°, которые не совпадают с главной осью. Такой перечень показывает, почему важно различать виды преобразований.

2. Поперечная плоскость через середину

Условие. Определите, является ли плоскость, перпендикулярная оси и проходящая через середину цилиндра, плоскостью симметрии. Решение. Нужно проверить, куда при отражении переходят основания и точки боковой поверхности, а не ограничиваться видом одного сечения. Обозначим расстояние между основаниями через h.

1. Плоскость проходит ровно посередине, поэтому каждое основание удалено от неё на h/2.
2. При отражении относительно плоскости верхнее основание переходит на такое же расстояние вниз, то есть занимает место нижнего. Нижнее основание аналогично переходит на место верхнего; равенство кругов обеспечивает их совпадение.
3. Точка боковой поверхности на некоторой высоте переходит в точку на противоположной высоте. Радиус цилиндра на всех высотах один и тот же, поэтому образ снова принадлежит боковой поверхности.
4. Поскольку отражение сохраняет и основания, и боковую поверхность, оно переводит в себя всё тело.

Ответ. Да, это плоскость симметрии цилиндра. Если параллельную плоскость сдвинуть от середины, расстояния до оснований окажутся неодинаковыми, поэтому основания при отражении не совпадут. Проверка расстояний позволяет быстро отличить симметричную поперечную плоскость от обычной плоскости сечения.

3. Центральная симметрия и поворот вокруг поперечной прямой

Условие. Пусть цилиндр расположен так, что его ось совпадает с осью z, а середина находится в начале координат. Для точки P(x, y, z) на его поверхности опишите образ при центральной симметрии относительно середины и при повороте на 180° вокруг оси x. Решение. Сравним преобразования по координатам: они по-разному меняют поперечное положение точки.

1. При центральной симметрии каждая координата меняет знак: P переходит в P₁(−x, −y, −z). Это отражает точку через начало координат и сохраняет расстояние до оси z.
2. При повороте на 180° вокруг оси x координата x остаётся прежней, а y и z меняют знак: P переходит в P₂(x, −y, −z). Ось x — поперечная прямая, проходящая через середину цилиндра.
3. В обоих случаях знак z меняется, поэтому высоты, отсчитываемые от середины, переходят в противоположные. Расстояние точки до оси цилиндра, √(x² + y²), тоже сохраняется.
4. Преобразования различаются по координате x: центральная симметрия меняет её знак, а поворот вокруг оси x оставляет её неизменной. Поэтому образы P₁ и P₂ в общем случае не совпадают.

Ответ. При центральной симметрии образ — (−x, −y, −z), при повороте вокруг оси x на 180° — (x, −y, −z). Оба преобразования сохраняют цилиндр, но действуют по-разному на точки. По координатам можно проверить не только принадлежность образа телу, но и то, какое именно преобразование было выполнено.

Типичные ошибки

• Считать, что ось симметрии должна сохранять тело при повороте на любой угол. Так думают, потому что у главной оси цилиндра именно это свойство особенно заметно. Но по определению достаточно одного подходящего ненулевого угла: у поперечных осей цилиндра это 180°. Проверяйте, какой угол указан, и не переносите свойство главной оси на все оси поворота.

• Называть плоскостью симметрии любое поперечное сечение цилиндра. Ошибка возникает из-за того, что любое такое сечение выглядит как круг. Однако плоскость симметрии должна при отражении совместить оба основания, а это происходит только для плоскости посередине. Проверьте, равноудалены ли основания от рассматриваемой плоскости.

• Учитывать только поперечные плоскости и забывать о плоскостях через ось. Так происходит, когда симметрию связывают только с обменом оснований. Плоскость через главную ось сохраняет каждый круг по диаметру и потому тоже является плоскостью симметрии. Чтобы проверить себя, рассмотрите и сечения, параллельные основаниям, и плоскости, проходящие вдоль цилиндра.

• Смешивать главную ось цилиндра с поперечными осями поворота на 180°. Обе прямые являются осями симметрии, поэтому их легко ошибочно считать одинаковыми по свойствам. Главная ось проходит через центры оснований и допускает поворот на любой угол, а поперечные прямые проходят через середину перпендикулярно ей. Сверяйте одновременно направление оси и угол, при котором тело совмещается с собой.

Связь с другими темами

Для изучения симметрии цилиндра нужны представления о движениях пространства: повороте, отражении и центральной симметрии. Также используются свойства круга — в частности, сохранение круга при повороте вокруг центра и отражении относительно диаметра, — и устройство цилиндра вращения. Эти знания помогают исследовать симметрии других пространственных тел и решать задачи на сечения: по расположению плоскостей и осей можно заранее понять, какие части тела переходят друг в друга.

Что запомнить

• Ось цилиндра — ось симметрии при повороте на любой угол.
• Каждая плоскость, содержащая ось цилиндра, является плоскостью симметрии.
• Срединная плоскость, перпендикулярная оси, является плоскостью симметрии.
• Середина цилиндра — его центр симметрии.
• Через середину цилиндра проходят оси поворота на 180°, перпендикулярные главной оси.