18.2. Прямой круговой цилиндр

Определения и обозначения

Прямой круговой цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом сторона вращения становится осью цилиндра, а остальные элементы образуют его поверхность. Цилиндр описывают радиусом основания r и высотой h.

Основания цилиндра — два равных параллельных круга. Они лежат в разных параллельных плоскостях, а их центры соединены осью цилиндра. Радиус каждого круга обозначают r, поэтому диаметр основания равен 2r.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки двух оснований. В прямом цилиндре образующая перпендикулярна плоскостям оснований. Она показывает направление, в котором расположена боковая поверхность.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. Для прямого цилиндра высота равна длине образующей: l = h. Это позволяет находить высоту по боковому отрезку и наоборот.

Как это устроено

Представим прямоугольник, одна сторона которого закреплена, и повернём его вокруг этой стороны. Каждая точка противоположной стороны движется по окружности, поэтому она образует круг. Две стороны прямоугольника, перпендикулярные оси вращения, дают два круга-основания, а оставшаяся сторона заметает боковую поверхность цилиндра.

При вращении все точки противоположной стороны находятся на одинаковом расстоянии от оси. Поэтому полученные круги имеют один и тот же радиус и равны друг другу. Плоскости этих кругов перпендикулярны оси вращения, значит, основания параллельны, а сама ось перпендикулярна обоим основаниям и проходит через их центры.

Любой отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки оснований, возникает из стороны прямоугольника, параллельной оси вращения. Такая сторона перпендикулярна основаниям, поэтому образующая тоже перпендикулярна им. Все образующие получаются вращением одного и того же отрезка, следовательно, имеют одинаковую длину, равную h.

Если провести плоскость через ось цилиндра, в каждом основании она вырежет диаметр. Поэтому осевое сечение имеет ширину 2r и высоту h и является прямоугольником. Из этого следуют его площадь 2rh и соотношение для диагонали d² = (2r)² + h².

Если разрезать боковую поверхность по образующей и развернуть её, получится прямоугольник. Одна его сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr. Поэтому Sбок = h · 2πr = 2πrh, а добавление площадей двух оснований даёт Sполн = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r).

Элементы и основные характеристики прямого кругового цилиндра

Таблицу удобно использовать как краткий справочник: сначала найдите в условии известные величины, затем выберите строку с нужной формулой. Следите, чтобы все длины были выражены в одинаковых единицах, а площади и объёмы — в соответствующих квадратных и кубических единицах.

Разбор задач

Задача 1

Дан цилиндр с r = 4 см и h = 7 см. Найдём размеры осевого сечения и его площадь.

1. Осевое сечение — прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания: 2r = 2 · 4 = 8 см.
2. Вторая сторона равна высоте цилиндра: h = 7 см.
3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: S = 8 · 7 = 56 см².

Ответ: стороны осевого сечения — 8 см и 7 см; площадь — 56 см².

Задача 2

Радиус основания равен 2 см, полная поверхность имеет площадь 24π см². Найдём h и V.

1. Используем формулу полной поверхности: Sполн = 2πr(h + r).
2. Подставим данные: 24π = 2π · 2 · (h + 2), откуда 24π = 4π(h + 2).
3. После деления на 4π получаем 6 = h + 2, значит h = 4 см.
4. Теперь вычислим объём: V = πr²h = π · 2² · 4 = 16π см³.

Ответ: высота цилиндра — 4 см, объём — 16π см³.

Задача 3

Осевое сечение — прямоугольник площадью 48 см² с диагональю 10 см. Его стороны равны 2r и h.

1. Обозначим стороны прямоугольника через a = 2r и b = h. Тогда ab = 48.
2. По теореме Пифагора a² + b² = 10² = 100.
3. Подходящие стороны — 6 см и 8 см, поскольку 6 · 8 = 48 и 6² + 8² = 100.
4. Так как a = 2r, получаем r = 6/2 = 3 см. Вторая сторона даёт h = 8 см.
5. Объём равен V = π · 3² · 8 = 72π см³.

Ответ: r = 3 см, h = 8 см, V = 72π см³.

Типичные ошибки

Радиус путают с диаметром. В формулах Sосн = πr² и V = πr²h нужно подставлять именно радиус, а не 2r. Проверка простая: если дан диаметр, сначала разделите его на два.

Образующую считают наклонной или неравной высоте. Такое возможно при рассмотрении наклонного цилиндра, но не в прямом. В прямом цилиндре нужно записывать l = h, поскольку образующая перпендикулярна основаниям.

Забывают одно из оснований. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и двух кругов, поэтому Sполн = Sбок + 2Sосн. Если в вычислении появился только один круг, формула составлена неполно.

Площадь боковой поверхности заменяют площадью круга. Боковая поверхность не является основанием: её развёртка — прямоугольник. Поэтому используют произведение 2πr на h, а не πr².

Связь с другими темами

До изучения цилиндра нужны свойства круга, длина окружности 2πr, площадь круга πr², площадь прямоугольника и формула объёма призмы. Эти знания позволяют вывести формулы цилиндра, а не запоминать их отдельно.

Тема продолжает изучение объёмов и площадей поверхностей тел вращения. Те же идеи развёртки и сечений применяются при работе с конусом и другими геометрическими телами.

Свойства осевого сечения пригодятся в задачах на сечения цилиндра и при рассмотрении комбинаций цилиндра с шарами, конусами и призмами. В таких задачах важно правильно определить радиус, диаметр и высоту полученного сечения.

Что запомнить

• Прямой круговой цилиндр имеет два равных параллельных основания-круга.
• Ось цилиндра перпендикулярна основаниям и проходит через их центры.
• Образующая прямого цилиндра равна его высоте.
• Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r и h.
• Площадь боковой поверхности равна 2πrh.
• Площадь полной поверхности равна 2πr(h + r).
• Объём цилиндра равен πr²h.