"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Цилиндр — пространственное тело с двумя равными круглыми основаниями, расположенными в параллельных плоскостях, и боковой поверхностью между ними. Его описывают радиусом основания r и высотой h. Для прямого цилиндра образующие перпендикулярны основаниям и равны высоте, осевое сечение является прямоугольником 2r × h, а развёртка боковой поверхности — прямоугольником h × 2πr. Эти свойства помогают решать задачи на сечения и площади.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью, соединяющей границы этих кругов. Круги расположены друг напротив друга, поэтому цилиндр имеет объёмную форму, а не является плоской фигурой. Это определение позволяет выделить основания и боковую поверхность тела.
Основания цилиндра — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. Их центры соединяет отрезок, а прямая, проходящая через эти центры, называется осью цилиндра. По основаниям удобно определять радиус r и сравнивать разные сечения тела.
Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие одного цилиндра параллельны и равны, поэтому боковая поверхность образуется их совокупностью. Образующие показывают направление, в котором одно основание связано с другим.
Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований; обозначим его h. Для прямого цилиндра высота равна длине образующей, поскольку образующая перпендикулярна основаниям. В наклонном цилиндре эти величины могут различаться.
Цилиндр можно получить параллельным переносом круга на некоторый вектор, не лежащий в его плоскости. Каждая точка круга перемещается на один и тот же вектор, поэтому расстояния и форма фигуры сохраняются. При этом граница круга перемещается по параллельным отрезкам и образует боковую поверхность, а сам круг задаёт одно основание и переносится во второе.
У прямого кругового цилиндра центры оснований соединены отрезком, перпендикулярным обеим плоскостям оснований. Поэтому ось проходит через центры и перпендикулярна основаниям. Образующие направлены так же, как ось, поскольку соединяют соответствующие точки при прямом переносе; значит, они параллельны оси.
Радиус основания r определяет размер круга, а высота h — расстояние между основаниями. Если провести плоскость через ось, она пересечёт каждое основание по диаметру длиной 2r, а боковую поверхность — по двум образующим длиной h. Поэтому осевое сечение прямого цилиндра является прямоугольником со сторонами 2r и h.
Плоскость, параллельная основанию, пересекает образующие на одинаковом уровне. Точки исходного круга при таком пересечении получают один и тот же параллельный сдвиг, который не меняет расстояния между ними. Поэтому сечение имеет ту же форму и размеры, что и основание: это круг радиуса r.
Если боковую поверхность прямого цилиндра разрезать по образующей и распрямить, получится прямоугольник. Одна его сторона сохраняет длину образующей h, а другая образуется из окружности основания и потому равна 2πr. Так появляется развёртка, по которой удобно находить площадь боковой поверхности.
| Элемент или сечение | Описание | Связь с r и h |
|---|---|---|
| Основания | Два равных круга в параллельных плоскостях | Радиус каждого круга — r |
| Ось | Прямая через центры оснований | Перпендикулярна основаниям в прямом цилиндре |
| Образующая | Отрезок между соответствующими точками окружностей | Для прямого цилиндра её длина равна h |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований | Обозначается h |
| Осевое сечение | Сечение плоскостью, проходящей через ось | Прямоугольник со сторонами 2r и h |
| Развёртка боковой поверхности | Прямоугольник после распрямления боковой поверхности | Стороны 2πr и h |
В таблице сначала находят нужный элемент, затем используют его геометрическое описание. Если дана величина сечения или развёртки, её сопоставляют с соответствующей стороной: диаметр равен 2r, а длина окружности — 2πr.
Особенно полезно различать свойства любого цилиндра и прямого цилиндра. Равенство образующей высоте и прямоугольная развёртка относятся именно к прямому цилиндру.
Условие. В прямом цилиндре радиус основания равен 3 см, а высота — 5 см. Нужно указать длину образующей и стороны осевого сечения.
Ответ: образующая — 5 см; стороны осевого сечения — 6 см и 5 см.
Условие. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Найдём радиус основания и высоту цилиндра.
Ответ: радиус основания — 4 см, высота — 6 см.
Условие. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 7 см. Требуется найти периметр прямоугольника, полученного при развёртке боковой поверхности.
Ответ: 14 + 16π см.
Путать радиус и диаметр. В осевом сечении ширина прямоугольника проходит через весь круг, поэтому равна 2r, а не r. Проверка проста: радиус должен быть в два раза меньше соответствующей стороны сечения.
Считать высотой наклонного цилиндра длину образующей. Образующая идёт по боковой поверхности, а высота измеряется кратчайшим расстоянием между параллельными плоскостями оснований. Для проверки мысленно опустите перпендикуляр к основанию: именно его длина является высотой.
Называть осью любую образующую. Ось проходит через центры двух оснований, тогда как образующая соединяет соответствующие точки их окружностей и параллельна оси. Если прямая не проходит через оба центра, осью она быть не может.
Неверно строить развёртку. Её стороны равны h и длине окружности основания 2πr, а не r и h; квадрат получается только при специальном совпадении численных значений. Проверьте, замыкается ли круглый край основания в отрезок длиной всей окружности.
Для изучения цилиндра нужны знания об окружности и круге, параллельных плоскостях и прямых, расстоянии между плоскостями. Также пригодятся представления о сечениях пространственных тел: они помогают понять осевое сечение и сечение, параллельное основанию.
Цилиндр и его развёртка используются при изучении площадей и объёмов тел вращения. Эти понятия также нужны в задачах на сечения, взаимное расположение прямых и плоскостей и другие вопросы пространственной геометрии.
Чем цилиндр отличается от круга?
Круг — плоская фигура, а цилиндр — пространственное тело. Цилиндр имеет два круга-основания и боковую поверхность, соединяющую их.
Образующая и высота цилиндра — это одно и то же?
Для прямого цилиндра длина образующей действительно равна высоте. У наклонного цилиндра образующая обычно длиннее высоты, потому что высота измеряется перпендикулярно плоскостям оснований.
Как найти радиус цилиндра по осевому сечению?
Осевое сечение прямого цилиндра имеет ширину, равную диаметру основания: d = 2r. Поэтому радиус находят по формуле r = d/2.
Как выглядит сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию?
Такое сечение является кругом, равным основанию цилиндра. Его радиус и площадь не изменяются при перемещении плоскости вдоль образующих.
Почему ширина развёртки боковой поверхности равна длине окружности?
При развёртывании боковая поверхность распрямляется, а её замкнутый край основания превращается в один из отрезков прямоугольника. Этот отрезок имеет длину окружности основания 2πr.
18.1. Определение и свойства цилиндра
