§ 18. Цилиндры

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью. Его можно получить параллельным переносом круга в направлении, не параллельном его плоскости: начальный и конечный круги вместе с заметённой областью образуют тело. Такое представление помогает понять устройство цилиндра и отличить его от одной лишь боковой поверхности.

Основания цилиндра — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. Их центры соответствуют друг другу при переносе, а радиусы равны; радиус основания обычно обозначают r. Эти данные нужны, чтобы описывать размеры цилиндра и находить диаметр основания, равный 2r.

Боковая поверхность соединяет окружности оснований, а её прямолинейные отрезки называются образующими. Образующая показывает, как связаны соответствующие точки двух окружностей. Это понятие важно для различения прямого и наклонного цилиндров, а также для построения сечений и развёртки.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры его оснований, а высота — расстояние между плоскостями оснований. Высоту обычно обозначают h; она измеряется перпендикулярно плоскостям, даже если цилиндр наклонный. Поэтому высота не всегда совпадает с длиной образующей.

Как это устроено

Если перемещать круг параллельно самому себе по прямой, его центр движется по отрезку, а каждый круг занимает положение, равное исходному. Когда направление переноса не параллельно плоскости круга, начальное и конечное положения лежат в разных параллельных плоскостях и становятся основаниями. Граница движущегося круга заметает боковую поверхность, а его внутренняя часть заполняет тело цилиндра. Поэтому тело включает не только оболочку, но и все точки внутри неё.

При таком переносе каждая точка окружности движется на одинаковое расстояние и в одном направлении. Следовательно, соответствующие отрезки на боковой поверхности имеют одну длину и параллельны друг другу: это образующие цилиндра. Если направление переноса перпендикулярно плоскости основания, каждая образующая перпендикулярна основаниям. Такой цилиндр называют прямым, и длина его образующей равна высоте; у наклонного цилиндра образующая длиннее высоты.

Плоскость, параллельная основаниям, пересекает цилиндр так, что сечение можно получить переносом одного основания. Перенос сохраняет форму и размеры, поэтому сечение — круг, равный основанию, с тем же радиусом. Расстояние от сечения до основания меняет его положение, но не его размеры. Это свойство работает именно для плоскости, параллельной основаниям.

Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. У прямого цилиндра эта плоскость пересекает основания по диаметрам, а боковую поверхность — по двум образующим. Диаметры оснований параллельны, образующие перпендикулярны им, поэтому получившийся четырёхугольник — прямоугольник со сторонами 2r и h. Его площадь равна 2rh.

Развёртка показывает поверхность цилиндра на плоскости после условного разреза по образующей и раскрытия боковой части. У прямого цилиндра боковая поверхность становится прямоугольником: его высота равна h, а ширина — длине окружности основания, 2πr. Ширина именно такая, потому что при раскрытии верхний и нижний края цилиндрической поверхности превращаются в стороны, равные окружности основания. Если основание прокатить без проскальзывания вдоль этой стороны, оно совершит полный оборот.

Элементы цилиндра и их характеристики

Сначала определите, о каком элементе говорится в условии, а затем найдите связанные с ним величины по таблице. Например, если известен радиус, ширина осевого сечения равна 2r, а длина окружности основания — 2πr. Учитывайте, что равенство образующей и высоты относится к прямому цилиндру.

Разбор задач

Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите площадь осевого сечения. Чтобы выбрать размеры сечения, нужно учесть, что оно проходит через ось, а значит, пересекает основание по диаметру, а не по радиусу.

1. Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r и h.
2. Найдём диаметр: 2r = 2 · 3 = 6 см.
3. Площадь прямоугольника: S = 6 · 5 = 30 см².

Ответ: 30 см².

Плоскость, параллельная основаниям цилиндра, пересекает его на расстоянии 2 см от нижнего основания. Радиус основания равен 4 см. Опишите сечение. Расстояние от нижнего основания определяет положение сечения, но не его размер, потому что плоскость остаётся параллельной основаниям.

1. Сечение плоскостью, параллельной основанию, является кругом, равным основанию.
2. Значит, его радиус равен 4 см, диаметр — 8 см.
3. Положение сечения задано: оно находится в 2 см от нижнего основания.

Ответ: круг радиуса 4 см (диаметра 8 см), расположенный в 2 см от нижнего основания.

Боковая поверхность прямого цилиндра развёрнута в прямоугольник со сторонами 10 см и 18π см. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. При сопоставлении сторон нельзя заранее считать, что меньшая сторона обязательно является высотой: длина окружности зависит от радиуса и тоже может оказаться меньше высоты.

1. Стороны развёртки равны высоте h и длине окружности 2πr, но соответствия возможны в двух вариантах.
2. Если h = 10 см, то 2πr = 18π см, откуда r = 9 см.
3. Если h = 18π см, то 2πr = 10 см, откуда r = 5/π см.

Ответ: h = 10 см, r = 9 см или h = 18π см, r = 5/π см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать высотой длину наклонной образующей. Её допускают, потому что на рисунке образующая может выглядеть как расстояние между основаниями. Но высота по определению измеряется перпендикулярно плоскостям оснований; у наклонного цилиндра образующая и высота не равны. Проверьте, указано ли, что цилиндр прямой, прежде чем приравнивать эти величины.

В осевом сечении иногда вместо диаметра берут радиус основания. Причина — ось проходит через центр круга, и кажется, что достаточно отрезка от центра до края. Однако плоскость сечения пересекает основание по всей прямой через центр, то есть по диаметру 2r. Для проверки отметьте оба края основания на сечении.

Не всякое сечение цилиндра является кругом. Круг получается, если секущая плоскость параллельна основаниям; при другом наклоне форма сечения может быть иной. Ошибка возникает из-за переноса свойства оснований на все возможные сечения. Проверьте направление плоскости относительно плоскостей оснований.

При развёртке боковой поверхности длину стороны прямоугольника могут принять за радиус. На самом деле эта сторона соответствует всей окружности основания, поэтому равна 2πr. Ошибка появляется, если забыть, что при раскрытии цилиндра окружность разворачивается целиком. Для проверки приравняйте сторону развёртки длине окружности и решите уравнение относительно r.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндра нужны понятия круга и окружности, параллельных плоскостей, перпендикуляра и расстояния между плоскостями. Знание площади круга и длины окружности пригодится при вычислении площадей поверхности и объёма цилиндра. Осевое сечение и развёртка помогают исследовать геометрию других тел вращения, например конуса. Поэтому умение читать элементы цилиндра становится основой для следующих тем стереометрии.

Что запомнить

• Основания цилиндра — равные круги в параллельных плоскостях.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.
• У прямого цилиндра образующие перпендикулярны основаниям.
• Высота цилиндра — расстояние между плоскостями оснований.
• Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте и диаметру основания.
• Развёртка боковой поверхности прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами h и 2πr.