2.3. Плоскости, проходящие через прямую

Определения и обозначения

Плоскость, проходящая через прямую, — это плоскость, содержащая все точки этой прямой. Иными словами, ни одна точка прямой не выходит за пределы такой плоскости. Это определение нужно, чтобы точно говорить о взаимном расположении прямой и плоскости, а не только о том, что они имеют общую точку.

Пучок плоскостей — совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Общая для них прямая служит осью пучка, а сами плоскости могут по-разному располагаться вокруг неё. Понятие удобно, когда требуется описать не одну плоскость, а целое множество плоскостей.

Через данную прямую и точку, не лежащую на ней, проходит ровно одна плоскость. Точка вне прямой как бы выбирает из всех плоскостей, содержащих эту прямую, одну определённую. Поэтому эти два объекта вместе используют как способ однозначно задать плоскость.

Прямая лежит в плоскости, если все её точки принадлежат этой плоскости. В геометрических рассуждениях не всегда нужно проверять каждую точку по отдельности: достаточно установить принадлежность плоскости двух различных точек прямой. Это позволяет переходить от отдельных точек к целой прямой.

Как это устроено

Почему через одну прямую проходит бесконечно много плоскостей? Возьмём точку вне прямой и проведём через неё плоскость вместе с прямой. Если выбрать другую точку, не лежащую на прямой и не лежащую в первой плоскости, получится иная плоскость. Таких точек можно выбрать бесконечно много, поэтому одной прямой недостаточно для единственного выбора плоскости.

Для выбранной точки вне прямой плоскость, напротив, единственна. Представим, что через эту прямую и точку проходят две разные плоскости. Тогда обе содержат одну и ту же прямую и точку вне неё, то есть в каждой из них лежат три точки, не принадлежащие одной прямой. Но через три такие точки проходит ровно одна плоскость. Получается противоречие, поэтому плоскость только одна.

Две прямые задают единственную плоскость не при любом расположении. Если они пересекаются, точку пересечения можно взять на первой прямой, а ещё одну точку — на ней же, но отличную от точки пересечения; вторая прямая содержит точку вне первой. Так образуются прямая и точка вне неё. Если прямые различны и параллельны, они также лежат в одной плоскости: направление одной прямой вместе с точкой другой задаёт плоскость, содержащую обе. В обоих случаях единственность следует из единственности плоскости, заданной прямой и точкой вне неё.

Как из двух точек получить принадлежность всей прямой? Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, через эти точки в плоскости проходит прямая. В пространстве через две точки проходит ровно одна прямая, поэтому эта прямая совпадает с исходной. Значит, в плоскости находится не только пара точек, но и вся прямая.

При выборе данных для задания плоскости в чертеже сначала ищут прямую и точку вне неё или две пересекающиеся прямые. В первом случае важно не перепутать точку на прямой с точкой вне неё: точка на прямой не добавляет нужной информации. Во втором случае точка пересечения помогает убедиться, что прямые действительно задают общую плоскость. Эти способы позволяют обосновать, какая именно плоскость рассматривается.

Способы задать плоскость

В таблице собраны основные сочетания данных и выводы, которые из них следуют. Сначала проверьте условие: например, точка должна быть вне прямой, а параллельные прямые — различными. Если условие выполнено, можно использовать вывод о существовании и единственности плоскости.

Разбор задач

Дана прямая a и точка M вне неё. Сколько плоскостей можно провести через a и M? Решение строится на проверке условия теоремы, а не на попытке представить все возможные повороты плоскости. Точка M не принадлежит прямой, поэтому данные подходят для однозначного задания плоскости.

1. Выделим прямую a и точку M как заданные объекты.
2. Проверим условие: M не лежит на a.
3. Применим утверждение о плоскости, заданной прямой и точкой вне неё.

Ответ: ровно одна плоскость.

Прямые a и b пересекаются в точке O. Нужно объяснить, почему через них проходит единственная плоскость. Выберем на прямой a точку A, отличную от O: такая точка существует, поскольку прямая содержит больше одной точки. Точка A не лежит на b, иначе прямые a и b имели бы две общие точки и совпали бы, а они пересекаются в O.

1. Рассмотрим прямую b и точку A на a, отличную от O.
2. Поскольку A не принадлежит b, прямая b и точка A задают ровно одну плоскость.
3. Эта плоскость содержит O и A, значит, содержит прямую a; по построению она содержит и b.

Ответ: через пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость.

Прямые a и b параллельны и различны. Требуется доказать, что они лежат в одной плоскости, и выяснить, единственна ли она. Возьмём точку A на a. Из параллельности следует, что A не лежит на b: иначе прямые пересеклись бы, а для различных параллельных прямых это невозможно. Значит, можно применить теорему о прямой и точке вне неё.

1. Возьмём прямую b и точку A, принадлежащую a.
2. Проведём через b и A единственную плоскость.
3. Так как A лежит в этой плоскости, а прямая a параллельна b, прямая a также лежит в ней: иначе она пересекла бы b или оказалась бы скрещивающейся с ней.
4. Любая плоскость, содержащая обе прямые, содержит b и A, поэтому совпадает с уже построенной.

Ответ: прямые лежат в одной плоскости, и такая плоскость ровно одна.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что через прямую проходит только одна плоскость. Её допускают, когда мысленно фиксируют какое-то одно положение плоскости и забывают, что её можно поворачивать вокруг прямой. Проверьте себя вопросом: указана ли дополнительная точка вне прямой? Без неё единственность не следует.

Ошибка — задавать плоскость прямой и точкой, которая лежит на ней. Такая точка уже принадлежит прямой и не помогает выбрать одну плоскость из бесконечного множества. Это часто происходит, если не проверить взаимное положение данных. Перед применением утверждения явно установите, что точка не лежит на прямой.

Ошибка — утверждать, что любые две прямые задают плоскость. В одной плоскости могут лежать пересекающиеся и параллельные прямые, но в пространстве существуют также скрещивающиеся. Проверка проста: выясните, пересекаются ли прямые или параллельны; если нет, общей плоскости у них не будет.

Ошибка — считать, что принадлежность плоскости двух точек означает принадлежность только этих точек. Иногда забывают свойство, связывающее две точки с прямой, которая через них проходит. Если точки различны и принадлежат одной плоскости, проходящая через них прямая целиком находится в ней. Для самопроверки назовите прямую и примените это свойство.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны аксиомы стереометрии, то есть основные утверждения о точках, прямых и плоскостях в пространстве, и знание признаков параллельности прямых. Они помогают устанавливать, какие объекты принадлежат плоскости и как расположены прямые. Полученные факты пригодятся при доказательстве принадлежности прямой плоскости, построении сечений многогранников и решении задач о взаимном расположении прямых и плоскостей. Пучок плоскостей расширяет представление о таких задачах: он описывает целое множество плоскостей с общей прямой.

Что запомнить

• Через прямую проходит бесконечно много плоскостей.
• Прямая и точка вне неё определяют единственную плоскость.
• Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость.
• Две различные параллельные прямые определяют единственную плоскость.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.