2.2. Плоскость, определяемая тремя точками

Определения и обозначения

Плоскость — одно из основных понятий геометрии: её нельзя определить через более простые понятия, но можно описывать её свойства. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами, например α или β, а точки, лежащие в плоскости, обозначают заглавными латинскими буквами. Такое обозначение помогает коротко записывать, какие объекты рассматриваются в задаче.

Неколлинеарные точки — точки, которые не принадлежат одной прямой. Три точки неколлинеарны, если прямая, проведённая через любые две из них, не проходит через третью. Это условие нужно, чтобы три точки определяли одну плоскость, а не оставляли возможность выбрать разные плоскости.

Плоскость, проходящая через точки A, B и C, содержит все три точки. Если A, B и C неколлинеарны, такую плоскость обозначают (ABC). Запись показывает, какими точками плоскость задана, и позволяет отличить её от других плоскостей в рассуждении.

Принадлежность точки плоскости означает, что точка лежит в этой плоскости; например, A ∈ α читают «точка A принадлежит плоскости α». Для прямой используют аналогичную запись, но буква обозначает другой объект: если a — прямая, то A ∈ a означает, что точка лежит на прямой a. По контексту и обозначению объекта можно понять, о какой принадлежности идёт речь.

Как это устроено

Три неколлинеарные точки задают плоскость: через них проходит плоскость, и такая плоскость только одна. Причина в том, что две точки уже определяют прямую, а третья точка вне этой прямой указывает, куда должна быть направлена плоскость. Поэтому нет возможности повернуть плоскость вокруг прямой и всё ещё сохранить положение третьей точки.

Условие неколлинеарности нельзя опускать. Если A, B и C лежат на одной прямой, то любая плоскость, содержащая эту прямую, будет содержать и все три точки. Плоскость можно поворачивать вокруг прямой, не меняя её положения, поэтому через эти точки проходят бесконечно многие плоскости.

Единственность можно выразить и так: если две плоскости проходят через одни и те же три неколлинеарные точки, то они совпадают. Каждая из них должна содержать единственную плоскость, заданную этими точками. Разных вариантов нет, поэтому обозначения α и β в таком случае относятся к одной и той же плоскости.

Построение начинают с прямой через две точки, например A и B. Затем берут третью точку C, которая не лежит на прямой AB. Прямая и точка вне неё определяют плоскость: именно в этой плоскости находятся A, B и C. Если же C лежит на AB, такого способа выбрать одну плоскость нет.

Запись (ABC) обозначает плоскость через точки A, B и C при условии, что они неколлинеарны. Перестановка букв не меняет набор точек, а значит, и саму плоскость: например, (ABC) и (CAB) совпадают. Перед такой записью полезно проверить условие неколлинеарности, иначе она не указывает на единственную плоскость.

Как расположены три точки и что они определяют

Сначала определите, лежат ли все три точки на одной прямой, и только потом выбирайте строку таблицы. Если две точки совпадают, а третья отличается, фактически остаётся прямая через две различные точки; через неё можно провести разные плоскости. Если совпали все точки, через эту точку также проходит более одной плоскости.

Разбор задач

Задача 1

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через A, B и C? Решим задачу, проверив, какое условие дано и что оно позволяет применить. Здесь условие неколлинеарности указано прямо.

1. Из условия следует, что точки A, B и C неколлинеарны. Именно для такого расположения действует утверждение о плоскости, заданной тремя точками. Значит, через них проходит одна плоскость.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2

Точки A, B и C лежат на одной прямой. Определяется ли ими единственная плоскость? Нельзя сразу применять утверждение о трёх точках: сначала нужно сравнить условие задачи с условием этого утверждения. В данном случае точки коллинеарны, то есть лежат на одной прямой.

1. Через прямую, на которой находятся A, B и C, можно провести плоскость. Но эту плоскость можно менять, поворачивая её вокруг прямой, и она по-прежнему будет содержать все три точки. Следовательно, таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: нет, единственная плоскость не определяется.

Задача 3

Две плоскости α и β содержат точки A, B и C, причём эти точки неколлинеарны. Докажите, что α = β. Чтобы доказательство было коротким, нужно найти утверждение, которое связывает заданные условия с выводом о совпадении. Им как раз служит единственность плоскости через три неколлинеарные точки.

1. Плоскость α проходит через A, B и C, и плоскость β проходит через те же точки. Поскольку A, B и C неколлинеарны, через них проходит только одна плоскость. Значит, плоскости α и β совпадают.

Ответ: α = β.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так рассуждают, вспоминая утверждение о трёх точках, но забывая его условие. Проверьте, лежит ли одна из точек на прямой через две другие: если да, единственность не следует.

Ошибка: утверждать, что через три точки на одной прямой нельзя провести плоскость. Путают отсутствие единственности с отсутствием самой плоскости. Через эту прямую можно провести плоскости, причём их бесконечно много; значит, точнее сказать, что точки не задают единственную плоскость.

Ошибка: путать единственность плоскости через три неколлинеарные точки с единственностью прямой через две различные точки. Две точки действительно определяют одну прямую, но через эту прямую проходят разные плоскости. Для самопроверки спросите себя, задана ли третья точка вне прямой.

Ошибка: записывать плоскость (ABC), не проверив, не лежат ли A, B и C на одной прямой. В этом случае запись может создать впечатление, будто плоскость единственна, хотя точки этого не обеспечивают. Перед обозначением установите, что точки неколлинеарны; если условие неизвестно, вывод о единственной плоскости делать нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужно знать свойство прямой: через две различные точки проходит единственная прямая. Также нужно уметь проверять, лежит ли точка на прямой, проведённой через две другие точки. Это позволяет отличить случай, когда три точки задают плоскость однозначно, от случая, когда они расположены на одной прямой.

Утверждение используют при доказательствах о взаимном расположении прямых и плоскостей. Оно также помогает задавать плоскость в пространственных задачах и доказывать совпадение двух плоскостей. В таких рассуждениях важно явно указать, что общие точки неколлинеарны.

Что запомнить

• Через три неколлинеарные точки проходит плоскость.
• Такая плоскость единственна.
• Плоскость через точки A, B и C обозначают (ABC).
• Три точки на одной прямой не определяют единственную плоскость.
• Перед применением утверждения проверяй, что точки неколлинеарны.