2.1. Прямая, задающаяся двумя точками

Определения и обозначения

Прямая, проходящая через две различные точки, — единственная прямая, на которой лежат эти точки A и B. Разные точки нужны потому, что через одну точку можно провести бесконечно много прямых. Это свойство позволяет однозначно определить прямую по двум её точкам.

Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Для прямой AB таким вектором служит вектор AB, соединяющий A и B. Он нужен, чтобы указать направление движения по прямой.

Параметрическое задание прямой — запись, в которой координаты точки прямой выражаются через один параметр t. Если известны начальная точка и направляющий вектор, все точки можно получить одной формулой. Такой способ особенно удобен в координатных задачах.

Параметр прямой — действительное число t, соответствующее определённой точке прямой. При изменении t точка перемещается по прямой. Значения t = 0 и t = 1 удобно связывать с точками A и B.

Как это устроено

Пусть заданы различные точки A и B. Вектор AB направлен от A к B, поэтому он показывает, в какую сторону нужно двигаться от A, чтобы оставаться на прямой AB. Именно поэтому он может быть направляющим вектором этой прямой.

Любую точку X на прямой можно получить из A прибавлением некоторого числа умноженного на вектор AB: X = A + t·AB. Если t = 0, добавление отсутствует и получается A, а если t = 1, получается B. При других значениях t точка смещается дальше B или в противоположную сторону от A.

Пусть A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂). Тогда AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁), и векторная формула распадается на три координатных равенства: x = x₁ + t(x₂ − x₁), y = y₁ + t(y₂ − y₁), z = z₁ + t(z₂ − z₁). Так получают параметрические уравнения прямой.

Одна прямая может иметь несколько параметрических записей. Например, начальной точкой можно взять B, а направляющим вектором — BA, либо сохранить точку A и заменить AB на 2AB. Параметр и формулы изменятся, но набор точек, описываемых записью, останется тем же.

Чтобы проверить принадлежность точки прямой, её координаты подставляют во все параметрические уравнения. Из каждого уравнения находят значение t и сравнивают результаты. Точка принадлежит прямой только тогда, когда один и тот же параметр подходит одновременно для всех координат.

Задание прямой через две точки

Таблицу удобно читать сверху вниз: сначала выписывают точки, затем находят разность их координат. После этого подставляют направляющий вектор в формулу X = A + t·AB. В последней строке получают уравнения, по которым можно находить точки и проверять их принадлежность.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(1; 2; 0) и B(3; −1; 4). Нужно записать направляющий вектор и параметрические уравнения прямой AB. Направление найдём как разность координат конечной и начальной точек.

1. AB = B − A = (3 − 1; −1 − 2; 4 − 0) = (2; −3; 4).
2. Подставляем координаты A и AB: x = 1 + 2t, y = 2 − 3t, z = 4t, где t ∈ R.

Ответ: AB = (2; −3; 4); x = 1 + 2t, y = 2 − 3t, z = 4t.

Задача 2. Для прямой через A(0; 1; 2) и B(2; 5; −1) проверим точку C(1; 3; ½). Сначала найдём направляющий вектор, затем подставим координаты C и сравним параметры.

1. AB = (2; 4; −3), поэтому прямая задаётся уравнениями x = 2t, y = 1 + 4t, z = 2 − 3t.
2. Из x = 1 получаем t = ½. Тогда y = 1 + 4 · ½ = 3, а z = 2 − 3 · ½ = ½.

Ответ: точка C лежит на прямой, поскольку одно значение t = ½ подходит для всех координат.

Задача 3. Даны A(1; 0; 2) и B(4; 2; −1). Найдём точку прямой с координатой x = 7 и проверим D(7; 4; −4). Здесь сначала определим параметр по условию на x.

1. AB = (3; 2; −3), поэтому x = 1 + 3t, y = 2t, z = 2 − 3t.
2. Из 1 + 3t = 7 получаем t = 2. Тогда y = 4, z = −4, значит искомая точка — (7; 4; −4).
3. Эти координаты совпадают с координатами D, поэтому D лежит на прямой.

Ответ: искомая точка (7; 4; −4); точка D принадлежит прямой.

Типичные ошибки

Совпадающие точки. Если взять A = B, получится нулевой вектор, не задающий направления. Ошибку предупреждает проверка: хотя бы одна координата точек должна различаться.

Несогласованное вычитание. Нельзя в одной координате считать B − A, а в другой A − B. Выберите один порядок и применяйте его ко всем координатам.

Параметр только от 0 до 1. Такой промежуток описывает отрезок AB, а не всю прямую. Для прямой нужно помнить условие t ∈ R.

Проверка по одной координате. Совпадение параметра в одном уравнении ещё ничего не доказывает. Подставьте найденное t во все координатные уравнения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координаты точки и вектора, а также умение находить координаты вектора по его началу и концу. Без этого нельзя правильно вычислить AB и составить уравнения.

Параметрическое задание прямой используется при проверке принадлежности точки, поиске пересечения прямых и составлении новых уравнений. Оно связывает геометрическое представление прямой с алгебраическими вычислениями.

Что запомнить

• Две различные точки однозначно задают прямую.
• Вектор AB является направляющим вектором прямой AB.
• Точка прямой записывается как A + t·AB при любом действительном t.
• Координатные уравнения прямой содержат один общий параметр.
• Для проверки принадлежности точки прямой параметр должен совпасть во всех координатах.