§ 2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Через любые две различные точки проходит единственная прямая. Её можно обозначить AB, используя названия точек, которые на ней лежат. Такой способ помогает однозначно указать прямую; если же точки совпадают, через них нельзя выбрать единственное направление и определить прямую.

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Её обозначают (ABC), перечисляя точки, которые в ней находятся. Это удобно, когда плоскость задана точками, а не нарисована или названа отдельной буквой.

Прямая и точка, не принадлежащая этой прямой, определяют единственную плоскость. Условие «точка вне прямой» необходимо: оно позволяет добавить к двум точкам прямой третью, не лежащую с ними на одной прямой. Так можно перейти к заданию плоскости тремя точками.

Две пересекающиеся прямые или две параллельные прямые определяют единственную плоскость. В обоих случаях прямые лежат в одной плоскости, но скрещивающиеся прямые такого способа не дают. Это различие помогает не считать, что любую пару прямых можно поместить в одну плоскость.

Как это устроено

Двух различных точек достаточно для задания прямой, потому что через них можно провести прямую только одним способом. Если бы подходили две разные прямые, обе проходили бы через одни и те же точки, что противоречит единственности прямой через две точки. Совпадающая пара точек не даёт такого условия: одна точка принадлежит бесконечному множеству прямых, и выбрать одну из них нельзя.

Для задания плоскости нужны три точки, не лежащие на одной прямой. Две точки определяют прямую, но через эту прямую можно провести множество плоскостей, словно поворачивая плоскость вокруг неё. Третья точка вне прямой выбирает одну из этих плоскостей: только одна плоскость проходит через все три точки. Если же третья точка лежит на прямой, нового условия не появляется.

Задание плоскости прямой и точкой вне неё сводится к предыдущему способу. На прямой можно выбрать две различные точки, а вместе с точкой вне прямой они образуют три неколлинеарные точки. Эти три точки задают единственную плоскость, содержащую и исходную прямую, и дополнительную точку. Поэтому условие о внешней точке нельзя опускать.

Пусть две прямые пересекаются в точке O. Возьмём на первой прямой точку A, отличную от O, а на второй — точку B, тоже отличную от O. Точки A, O и B не лежат на одной прямой: иначе обе исходные прямые совпали бы. Значит, они задают плоскость, и обе пересекающиеся прямые целиком в ней лежат.

Параллельные прямые задают плоскость, поскольку в пространстве они могут быть помещены в одну плоскость, и эта плоскость единственна. Например, возьмём две точки на одной прямой и одну точку на другой: эти три точки неколлинеарны и определяют плоскость, содержащую обе прямые. Скрещивающиеся прямые отличаются тем, что общей плоскости для них не существует: они не пересекаются и не параллельны.

Способы задания прямой и плоскости

Сначала определите, что именно требуется задать, затем проверьте исходные условия в нужной строке таблицы. Если условие не выполнено, например точки лежат на одной прямой, единственность плоскости не гарантирована.

Разбор задач

Задача 1. Даны две различные точки A и B. Укажите, сколько прямых проходит через них, и обозначьте эту прямую.

1. Проверяем условие: точки A и B различны, значит, они задают прямую.
2. По свойству прямой через две различные точки проходит ровно одна прямая.
3. Обозначаем её по двум точкам, через которые она проходит: AB.

Ответ: проходит одна прямая, её обозначение — AB. Слова «ровно одна» важны: они показывают и существование прямой, и невозможность провести через те же точки другую.

Задача 2. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Как обозначить плоскость, которую они определяют? Принадлежит ли ей прямая AB?

1. Три точки неколлинеарны, поэтому по ним задаётся единственная плоскость.
2. Обозначаем плоскость перечислением точек: (ABC).
3. Точки A и B принадлежат этой плоскости. Прямая AB проходит через две точки плоскости, значит, целиком лежит в ней.

Ответ: плоскость обозначается (ABC), прямая AB ей принадлежит. Здесь важно не просто назвать плоскость, но и проверить, что обе точки прямой находятся в ней.

Задача 3. Прямые a и b пересекаются в точке O. На прямой a взята точка A, отличная от O, а на b — точка B, отличная от O. Обоснуйте, что A, O и B задают ту же плоскость, что и прямые a и b.

1. Точки A и O лежат на a, а точки O и B — на b.
2. Точки A, O и B не лежат на одной прямой: иначе a и b совпали бы, а не пересекались в одной точке.
3. По трём неколлинеарным точкам существует единственная плоскость. Она содержит обе прямые, так как содержит по две точки каждой из них.

Ответ: точки A, O и B задают плоскость, содержащую a и b; это и есть плоскость двух пересекающихся прямых. Такой переход позволяет заменить описание прямыми на описание тремя точками.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Её допускают, потому что запоминают число точек, но забывают проверить их расположение. Если точки лежат на одной прямой, через неё можно провести много плоскостей; проверяйте, что три точки неколлинеарны.

Неверно утверждать, что любая пара прямых задаёт плоскость. Обычно забывают, что прямые в пространстве могут быть скрещивающимися, а они не лежат в одной плоскости. Перед выводом выясните, пересекаются ли прямые или параллельны; если ни то ни другое, общей плоскости нет.

При задании плоскости прямой и точкой нельзя брать точку на этой прямой. Иначе новые данные фактически сводятся к одной прямой, через которую проходит много плоскостей. Проверяйте принадлежность точки прямой: она должна лежать вне неё.

Единственность плоскости не означает единственность прямой в ней. Эта ошибка возникает, когда свойство заданного объекта переносят на все объекты внутри него. Через точку плоскости можно провести множество прямых; чтобы определить одну прямую, укажите две различные точки на ней.

Связь с другими темами

Для изучения способов задания прямых и плоскостей нужны аксиомы стереометрии — основные утверждения о геометрических фигурах в пространстве. Также нужно понимать, означает ли принадлежность, что точка находится на прямой или в плоскости. Различайте пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые: от этого зависит, существует ли общая плоскость.

Способы задания плоскости применяют, чтобы доказывать, что точки или прямые принадлежат ей. Они помогают обосновывать построения и выяснять взаимное расположение прямых и плоскостей. Поэтому условия задания — не формальность: на них опираются дальнейшие рассуждения в стереометрии.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Три точки задают плоскость единственным образом, если они не лежат на одной прямой.
• Прямая и точка вне неё задают единственную плоскость.
• Две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость.
• Две параллельные прямые задают единственную плоскость.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.