20.4. Граничные и внутренние точки плоских фигур. Замкнутая область

Определения и обозначения

Плоская фигура — множество точек плоскости, рассматриваемое как единый геометрический объект. Фигурой может быть многоугольник, круг или область, заданная условием. Такое определение позволяет изучать не только линии, но и все точки внутри них.

Внутренняя точка фигуры — точка, для которой существует круг с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре. Радиус круга можно выбрать достаточно малым. Это показывает, что точка находится внутри фигуры, а не на её краю.

Граничная точка фигуры — точка, в любом сколь угодно малом круге вокруг которой есть и точки фигуры, и точки, не принадлежащие фигуре. У такого круга нет радиуса, который отделил бы точку только от внешних или только от внутренних точек. Поэтому граничные точки образуют край фигуры.

Замкнутая область — плоская фигура, содержащая все свои внутренние и граничные точки. Иными словами, к внутренней части присоединена вся граница. Например, замкнутый круг включает и внутренность, и окружность.

Как это устроено

Для проверки положения точки берут круг с центром в ней и мысленно уменьшают его радиус. Если точка расположена внутри фигуры, сначала можно выбрать круг, не доходящий до границы. Поэтому хотя бы один круг целиком окажется в фигуре. Чем дальше точка от границы, тем больший круг обычно можно выбрать.

Для граничной точки одного удачного или неудачного круга недостаточно. Какой бы малый радиус мы ни взяли, круг всё равно захватит участки по разные стороны границы. Именно поэтому в определении используется слово «любой»: граница обнаруживается при любом увеличении и любом уменьшении окрестности.

Граница разделяет близкие точки плоскости на два типа: принадлежащие фигуре и не принадлежащие ей. При этом сама граничная точка может входить в фигуру, как у замкнутого многоугольника, или не входить, как у внутренности без края. Разделение определяется не принадлежностью самой точки, а тем, что находится вокруг неё.

У многоугольника точки, лежащие строго внутри его сторон, являются внутренними. Точки на сторонах граничные, потому что любой круг вокруг них выходит наружу хотя бы с одной стороны. Вершина также граничная: около неё есть и точки многоугольника, и точки за пределами двух соседних сторон, а за многоугольником находятся внешние точки.

Если взять внутренность фигуры и добавить к ней всю границу, получится замкнутая область. Добавление только части границы не даёт такого результата, поскольку отсутствующие граничные точки остаются вне фигуры. Поэтому при проверке замкнутости нужно искать не только внутренние точки, но и каждый участок границы, включая вершины.

Классификация точек плоской фигуры

Сначала определите, где находится точка на рисунке, а затем примените признак из первой или второй строки. Особенно полезна вторая строка: она объясняет, что происходит в достаточно малой окрестности точки. Если точка лежит на стороне или окружности, не спешите считать её внутренней — проверьте, выходит ли любой малый круг за пределы фигуры.

Разбор задач

Прямоугольник ABCD

Условие. Для прямоугольника ABCD нужно определить тип его вершин, точек на сторонах, точек внутри и точек вне прямоугольника. Тип точки определяется относительно самого прямоугольника, включая его стороны. Используем существование или отсутствие круга, целиком лежащего в фигуре.

1. Возьмём точку, лежащую строго внутри прямоугольника. Расстояние от неё до каждой стороны положительно, поэтому можно выбрать радиус меньше самого маленького из этих расстояний. Полученный круг полностью находится в прямоугольнике, значит, точка внутренняя.
2. Пусть точка лежит на стороне, но не является вершиной. Любой круг вокруг неё пересекает прямоугольник и выходит наружу через эту сторону. Следовательно, точка граничная.
3. В вершине любой круг содержит точки внутри прямоугольника и точки за его пределами. Вершина тоже граничная, хотя принадлежит прямоугольнику.
4. Для точки вне прямоугольника можно выбрать достаточно малый круг, не доходящий до него. Весь такой круг состоит из внешних точек.

Ответ. Точки внутри прямоугольника — внутренние, точки на сторонах и в вершинах — граничные, точки за пределами — внешние.

Круг и окружность

Условие. Дан круг с центром O и радиусом R. Нужно классифицировать точку P по условиям OP < R, OP = R и OP > R, а затем сравнить круг с его границей — окружностью. Расстояние OP показывает, где точка находится относительно центра.

1. Если OP < R, точка находится внутри круга. Запас расстояния до окружности равен R − OP, поэтому вокруг P можно взять круг малого радиуса, целиком лежащий в данном круге. Точка P внутренняя.
2. Если OP = R, точка лежит на окружности. Любая её окрестность захватывает точки как внутри круга, так и снаружи, поэтому P граничная.
3. Если OP > R, точка находится вне круга. Можно выбрать окрестность, радиус которой меньше расстояния от P до окружности, и она не пересечёт круг. Точка P внешняя.
4. Сам круг состоит из внутренних и граничных точек. Окружность же содержит только граничные точки и не включает точки, расположенные внутри неё.

Ответ. При OP < R точка внутренняя, при OP = R — граничная, при OP > R — внешняя. Круг включает окружность, а окружность является только его границей.

Треугольник без одной стороны

Условие. Фигура состоит из внутренности треугольника и двух его сторон, но одна сторона удалена. Требуется определить граничные точки и выяснить, является ли фигура замкнутой областью. Отсутствующую сторону всё равно нужно учитывать при поиске границы, потому что рядом с ней находятся точки фигуры и точки вне фигуры.

1. Точки, лежащие строго внутри треугольника, имеют малые круги, целиком принадлежащие фигуре. Они внутренние.
2. Точки двух оставшихся сторон и вершины граничные: любой круг вокруг них содержит точки по обе стороны края. Точки удалённой стороны также граничные, хотя не принадлежат фигуре, поскольку в любой их окрестности есть точки внутренности и внешние точки.
3. Фигура не содержит все свои граничные точки: вся удалённая сторона отсутствует. Значит, условие замкнутой области нарушено.

Ответ. Границей являются все три стороны треугольника, включая вершины, но точки удалённой стороны не входят в фигуру. Поэтому такая фигура не является замкнутой областью.

Типичные ошибки

Считать любую точку на рисунке внутренней. Точка может принадлежать фигуре, но лежать на её границе. Проверьте, удаётся ли провести вокруг неё круг, целиком расположенный в фигуре.

Определять граничную точку по одному кругу. Один круг может случайно не показать нужного свойства. Нужно проверить любой круг, сколь угодно малого радиуса: в нём должны быть точки фигуры и точки вне фигуры.

Считать границей только линию без вершин. Вершина тоже окружена точками по разные стороны границы, поэтому является граничной. При проверке перечисляйте стороны и их концы.

Называть внутренность фигуры замкнутой областью. Внутренность без края не содержит своих граничных точек. Убедитесь, что фигура включает всю границу, а не только точки внутри неё.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия плоскости, точки, расстояния, круга, окружности, многоугольника и его внутренней области. Без них трудно описать окрестность точки и её положение относительно границы.

Понятия границы и замкнутой области пригодятся при изучении взаимного расположения фигур, геометрических мест точек и областей, заданных неравенствами. Они позволяют переводить рисунок в точные условия.

В координатной геометрии условие x² + y² ≤ R² задаёт замкнутый круг с центром в начале координат. Условие x² + y² < R² задаёт только его внутренность, без окружности.

Что запомнить

• Внутренняя точка имеет некоторую окрестность, целиком лежащую в фигуре.
• В любой окрестности граничной точки есть точки фигуры и точки вне фигуры.
• Внешняя точка имеет некоторую окрестность, не пересекающую фигуру.
• Стороны и вершины многоугольника являются его граничными точками.
• Замкнутая область содержит свою границу.
• Окружность — граница круга, а круг включает внутренние и граничные точки.