20.3. Определение тела

Определения и обозначения

Тело — ограниченная часть пространства, отделённая от остального пространства своей поверхностью. Иначе говоря, речь идёт не об отдельной оболочке, а о пространственной области вместе с её границей. Это определение помогает понять, какую часть пространства рассматривают как единый геометрический объект.

Поверхность тела — граница, отделяющая тело от внешнего пространства. Она образует оболочку тела, но сама по себе не содержит его внутренние точки. Это понятие нужно, чтобы описать форму тела и провести границу между тем, что находится внутри, и тем, что расположено снаружи.

Внутренние точки тела — точки, расположенные внутри поверхности и не принадлежащие её границе. Такие точки находятся в глубине тела, а не на его оболочке. Их выделяют, чтобы отличать внутреннюю область от поверхности.

Внешние точки тела — точки пространства, не принадлежащие телу и находящиеся по другую сторону его поверхности. Они лежат за границей и не входят ни во внутреннюю область, ни в саму оболочку. Это определение позволяет решить, принадлежит ли выбранная точка телу.

Как это устроено

Чтобы выделить тело среди остальных точек пространства, нужна замкнутая ограничивающая поверхность. Если в оболочке есть разрыв, из внутренней области можно попасть во внешнюю, не пересекая её границу, поэтому однозначно отделить тело не получится. Замкнутая поверхность охватывает область со всех сторон, как оболочка мяча или грани куба. Именно поэтому ограниченность и наличие полной границы важны для понятия тела.

Поверхность разделяет пространство на внутреннюю и внешнюю части. Представим, что точка перемещается изнутри наружу по непрерывному пути: ей придётся пересечь границу. Это объясняет, почему по отношению к поверхности точки можно классифицировать как внутренние, граничные или внешние. Для многогранника положение обычно проверяют по его граням: они образуют замкнутую оболочку, а переход через грань ведёт из одной стороны в другую.

Тело состоит из внутренних точек и точек своей границы. Если оставить только внутренние точки, оболочка не войдёт в рассматриваемую часть пространства, а если оставить только границу — исчезнет объёмная область. Поэтому при определении тела учитывают обе части. Точки на грани, ребре или вершине куба принадлежат его телу, хотя не являются внутренними.

Тело нельзя отождествлять с поверхностью, которая его ограничивает, или с плоской фигурой. Поверхность — это граница, а тело включает также точки по одну сторону от неё; например, сфера ограничивает шар, но не содержит его внутренней области. Плоская фигура расположена в плоскости, тогда как тело занимает область пространства. Аналогия помогает: линия может ограничивать плоскую фигуру, а поверхность — пространственное тело.

Одно и то же тело можно описать как часть пространства, заключённую внутри ограничивающей поверхности, включая эту поверхность. Такой способ описания удобен, потому что позволяет начать с оболочки и определить, какая область считается внутренней. Например, куб можно рассматривать как часть пространства внутри его граней вместе с самими гранями. Это не меняет объект, а лишь подчёркивает связь между телом и его границей.

Основные элементы понятия тела

Сначала определите, о каком объекте говорится: о всей пространственной области или только о её оболочке. Затем проверьте, включает ли описание внутренние точки и границу. Такая проверка помогает не путать тело с поверхностью.

Разбор задач

Задача 1. По описанию определить, что является телом, а что — только его поверхностью: шар и сфера. Нужно выяснить, входят ли в каждый объект точки внутри оболочки. Для этого сопоставим определения тела и поверхности.

1. Шар включает точки внутри сферы и точки самой сферы.
2. Сфера состоит из точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра, и образует только границу шара.
3. Следовательно, шар — тело, а сфера — его поверхность.

Ответ: шар является телом, сфера — поверхностью шара. Главное различие в том, что шар содержит внутреннюю область.

Задача 2. Для куба назвать тело, его поверхность, внутренние и внешние точки. У куба замкнутая оболочка из шести квадратных граней. По отношению к этой оболочке точки можно разделить на три группы.

1. Тело — куб как ограниченная часть пространства, включая его границу.
2. Поверхность куба состоит из шести граней, а также их рёбер и вершин.
3. Внутренние точки находятся внутри оболочки и не лежат на гранях.
4. Внешние точки расположены за кубом и не принадлежат ему.

Ответ: тело — весь куб вместе с границей; поверхность — его грани, рёбра и вершины; внутренние и внешние точки расположены соответственно внутри и вне оболочки.

Задача 3. Объяснить, почему поверхность многогранника разделяет пространство на внутреннюю и внешнюю части, и определить принадлежность точки. Пусть задана точка A. Чтобы ответить, сначала установим её положение относительно граней, а затем применим определение тела.

1. Грани многогранника соединены по рёбрам и образуют замкнутую поверхность.
2. При перемещении из внутренней области наружу нужно пересечь эту поверхность, поэтому она служит границей двух частей пространства.
3. Если A внутри оболочки или на любой её грани, ребре либо вершине, точка принадлежит телу; если A снаружи — не принадлежит.

Ответ: замкнутая поверхность многогранника отделяет его внутренность от внешнего пространства. Принадлежность A определяется её положением: внутри и на границе — принадлежит, снаружи — нет.

Типичные ошибки

Называть сферу телом — значит смешивать оболочку и область, которую она ограничивает. Так ошибаются, потому что в обычной речи слова «шар» и «сфера» иногда используют как похожие. Проверьте себя вопросом: есть ли в описываемом объекте внутренние точки? У сферы их нет, а у шара есть.

Другая ошибка — исключать границу из тела. Она возникает, если считать телом только его внутреннюю часть, хотя по определению тело рассматривают вместе с ограничивающей поверхностью. Чтобы проверить ответ, вспомните, что тело состоит из внутренних точек и точек границы. Поэтому точка на грани куба принадлежит кубу.

Не всякое множество точек является телом. Если множество не ограничено или у него нет замкнутой границы, нельзя без проверки называть его ограниченной частью пространства, отделённой поверхностью. Ошибку допускают, когда опираются только на наличие точек. Проверьте, можно ли выделить область и полностью отделить её от внешнего пространства границей.

Внутреннюю точку нельзя считать точкой поверхности. Путаница появляется из-за того, что обе точки принадлежат телу, но их положение различно. Внутренняя точка не лежит на границе, а граничная находится непосредственно на ней. Для проверки представьте переход из точки наружу: если точка уже на оболочке, она не является внутренней.

Связь с другими темами

Для понимания определения понадобятся понятия пространства, точки, поверхности и плоскости, а также знакомство с многогранниками и сферой. В планиметрии плоская фигура связана с линией, которая её ограничивает; в пространстве аналогичную роль играет поверхность тела. Позже это различие пригодится при изучении многогранников и тел вращения. На него опираются и при рассмотрении объёмов тел и площадей их поверхностей.

Что запомнить

• Тело является частью пространства.
• Тело ограничено поверхностью.
• Поверхность тела называется его границей.
• Тело включает внутренние точки и точки границы.
• Сфера — поверхность, а шар — тело.
• Поверхность отделяет внутреннюю часть тела от внешнего пространства.