20.2. Граница и внутренность фигуры в пространстве

Определения и обозначения

Внутренняя точка фигуры — точка, вокруг которой можно выбрать шар, целиком лежащий в этой фигуре. Иначе говоря, от точки до внешней области есть некоторый положительный «запас». Это определение позволяет проверить, действительно ли точка находится внутри, а не на границе.

Внутренность фигуры — множество всех её внутренних точек. Она объединяет точки, для которых можно подобрать такие шары, не выходящие за пределы фигуры. Понятие нужно, чтобы отделить часть фигуры, полностью окружённую самой фигурой, от её края.

Граничная точка фигуры — точка, в любом шаре с центром в которой есть точки как самой фигуры, так и пространства вне неё. Даже очень маленький шар вокруг такой точки пересекает обе области. Это определение помогает находить места, где фигура соприкасается с внешней областью.

Граница фигуры — множество всех её граничных точек. Она может включать точки, принадлежащие фигуре, и точки, не принадлежащие ей. Поэтому для описания фигуры отдельно указывают, включён ли её край.

Как это устроено

Понятие внутренней точки выражает наличие вокруг неё «запаса»: достаточно малого шара, полностью помещающегося в фигуру. Причина в том, что точка внутри не соприкасается непосредственно с внешней областью. Если от точки до края есть расстояние, можно взять шар радиуса меньше этого расстояния и остаться внутри фигуры.

Чтобы проверить, является ли точка граничной, рассматривают шары сколь угодно малого радиуса и проверяют, пересекают ли они и фигуру, и её дополнение. Дополнением здесь называют всё пространство, что не принадлежит фигуре. Проверка нужна именно для малых шаров: один большой шар может пересекать обе части пространства, хотя точка находится глубоко внутри одной из них.

Внутренность и граница описывают разные множества: внутренние точки имеют целую окрестность внутри фигуры, а граничные точки отделяют её от внешней области. Окрестностью точки называют шар с центром в этой точке. Если найдётся хотя бы одна такая окрестность, полностью лежащая в фигуре, точка внутренняя; если этого нельзя сделать и каждый шар задевает обе области, точка граничная.

Граничная точка может принадлежать фигуре или не принадлежать ей: это зависит от того, включена ли граница в саму фигуру. Например, условие расстояния до центра не больше радиуса включает поверхность, а строгое неравенство — нет. Однако включение поверхности не меняет того, что её точки являются граничными: вблизи каждой из них есть точки как внутри, так и снаружи.

На примере шара различают его внутренность, поверхность как границу и точки вне шара; при этом для открытого и замкнутого шара внутренность и граница совпадают, а принадлежность поверхности фигуре различается. У обоих шаров внутренность задаётся условием расстояния до центра меньше радиуса, а граница — равенством расстояния радиусу. Различие состоит в том, что замкнутый шар включает эту поверхность, а открытый — нет. Такое сравнение показывает, почему граница и принадлежность фигуре — не одно и то же.

Как различать внутренние, граничные и внешние точки фигуры

Сначала выясните, можно ли найти шар целиком по одну сторону границы. Если он целиком внутри фигуры, точка внутренняя; если целиком снаружи — внешняя. Если ни для какого малого радиуса такого шара нет и каждый шар пересекает обе области, точка граничная.

Разбор задач

Задача 1. Точки относительно шара

Для шара с центром O и радиусом R определите, какие точки являются внутренними, граничными и внешними. Обозначим через d расстояние от рассматриваемой точки до O. Сравнение с радиусом сразу показывает, где расположена точка относительно поверхности.

1. Если d < R, точка находится на расстоянии от центра меньше радиуса. Можно взять шар вокруг неё достаточно малого радиуса, чтобы он не достиг поверхности исходного шара.
2. Если d = R, точка лежит на поверхности. В сколь угодно малом шаре вокруг неё есть точки по внутреннюю и внешнюю стороны поверхности.
3. Если d > R, точка находится снаружи. Можно подобрать малый шар вокруг неё, целиком не пересекающий исходный шар.

Ответ: при d < R точка внутренняя, при d = R — граничная, при d > R — внешняя. Принадлежность точек поверхности самому шару зависит от того, открытый он или замкнутый.

Задача 2. Внутренность и граница замкнутого шара

Замкнутый шар задан условием расстояния от точки до O не больше R. Требуется найти его внутренность и границу. Сначала важно не спутать вхождение точки в фигуру с тем, является ли она внутренней.

1. Запишем условие принадлежности замкнутому шару: d ≤ R. Поэтому поверхность, где d = R, входит в исходную фигуру.
2. Для d < R вокруг точки можно выбрать шар меньшего радиуса, который останется внутри замкнутого шара. Такие точки составляют его внутренность.
3. При d = R любой шар вокруг точки пересекает внутреннюю область и область с d > R, лежащую вне исходной фигуры. Значит, эти точки граничные.

Ответ: внутренность задаётся условием d < R, граница — условием d = R. Поверхность входит в замкнутый шар, но не входит в его внутренность.

Задача 3. Объединение двух пересекающихся шаров

Пусть фигура получена объединением двух пересекающихся шаров. Нужно определить, какие точки относятся к её внутренности, а какие — к границе. Нельзя просто назвать границей обе поверхности целиком: части поверхностей могут оказаться внутри другого шара.

1. Рассмотрим точку, лежащую внутри хотя бы одного из шаров. Вокруг неё можно выбрать достаточно малый шар, целиком помещающийся в этом шаре, а значит, и в объединении.
2. Такая точка является внутренней точкой объединения. Это верно и для точек пересечения шаров, и для участков одного шара, перекрытых другим.
3. На границе объединения остаются только те участки поверхностей, возле которых есть точки объединения и точки вне обоих шаров.
4. Участок поверхности, закрытый внутренностью другого шара, границей объединения не является: в его окрестности нет точек вне объединения с той стороны, которая закрыта вторым шаром.

Ответ: внутренность объединения — его внутренняя область; граница состоит из неперекрытых наружных участков поверхностей обоих шаров. Для точной проверки любой точки используют шары сколь угодно малого радиуса.

Типичные ошибки

Считать любую точку фигуры внутренней — ошибка: точка может лежать на границе, даже если сама граница включена в фигуру. Так путают принадлежность множеству и наличие шара целиком внутри него. Проверьте себя: для внутренней точки должен существовать такой шар, а не просто условие «точка входит в фигуру».

Полагать, что граничная точка обязана принадлежать фигуре, тоже неверно. Такую мысль подсказывает привычка считать край частью нарисованного тела, но определение говорит только о точках фигуры и её дополнения в каждом шаре. Проверьте условие фигуры отдельно: знак ≤ включает поверхность, а знак < исключает её.

Проверять граничность только в одном шаре фиксированного радиуса недостаточно. Большой шар может пересекать фигуру и её дополнение даже тогда, когда его центр расположен глубоко внутри фигуры. Для самопроверки спросите, выполняется ли условие для сколь угодно малых радиусов, а не только для выбранного вами.

Отождествлять границу фигуры с её поверхностью на рисунке — ненадёжно. На плоском изображении пространственные отношения показаны условно, а некоторые участки, выглядящие краем, могут быть закрыты другой частью фигуры. Проверяйте каждую точку по определению: в любом шаре вокруг граничной точки должны быть и точки фигуры, и точки вне неё.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать внутренность и границу, нужно уметь находить расстояние между точками и понимать, что такое шар с заданными центром и радиусом. Сравнение расстояния с радиусом позволяет на примере шара различать внутренние, граничные и внешние точки. Эти понятия пригодятся при изучении областей пространства и открытых и замкнутых множеств. Они также помогают точно описывать геометрические тела, в том числе указывать, входит ли поверхность в фигуру.

Что запомнить

• Внутренняя точка имеет шар, целиком лежащий в фигуре.
• В любой шар вокруг граничной точки попадают и точки фигуры, и точки вне её.
• Граница фигуры состоит из всех её граничных точек.
• Граничная точка не обязательно принадлежит фигуре.
• Внутренность фигуры состоит из всех её внутренних точек.