20.1. Наглядное представление о теле

Определения и обозначения

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Тело включает точки внутри границы и точки самой границы, поэтому не сводится к оболочке. Это определение помогает описывать пространственные объекты, например шар или куб.

Поверхность тела — граница, отделяющая тело от остального пространства. Она образует внешнюю оболочку: например, у куба поверхность состоит из шести граней. Понятие поверхности нужно, чтобы отличать границу объекта от его внутренней части.

Внутренняя точка тела — точка, вокруг которой можно выделить небольшую область, целиком лежащую внутри тела. Такая область не выходит наружу и не касается границы, если её взять достаточно малой. Это определение позволяет отличить внутреннее положение от положения на поверхности.

Внешняя точка тела — точка, вокруг которой можно выделить небольшую область, не пересекающую тело. Значит, точка находится снаружи, а не на границе. Понятие внешней точки помогает точно говорить о том, где расположен объект относительно тела.

Как это устроено

Модель шара или куба помогает заметить, что тело занимает некоторую часть пространства: у него есть объёмная внутренняя область. Если взять только оболочку мяча или куба из проволоки, получим наглядное представление о поверхности, но не о полном теле. Причина различия проста: оболочка задаёт границу, а между её частями находится внутренняя область. Поэтому геометрическое тело включает и внутренние точки, и точки оболочки.

Замкнутая поверхность не имеет разрывов, через которые можно было бы перейти изнутри наружу, не пересекая границу. Она отделяет внутреннюю область от остального пространства. Чтобы представить это, можно вообразить закрытую коробку: пока мы перемещаемся изнутри кнаружи, придётся пересечь её стенку. Именно поэтому поверхность удобно считать границей тела.

Относительно тела точка может находиться в одном из трёх положений: внутри, на поверхности или вне тела. Внутреннюю точку можно окружить маленькой областью, целиком остающейся внутри; внешнюю — областью, не пересекающей тело. Если сама точка лежит на границе, её положение называют положением на поверхности. Такое разделение важно, потому что точка границы не относится ни к внутренним, ни к внешним.

Тело и его поверхность — разные геометрические объекты, хотя в повседневной речи их иногда смешивают. Поверхность служит границей, а тело содержит ещё и все внутренние точки. Например, тонкая оболочка мяча представляет поверхность, тогда как мяч как геометрическое тело включает пространство внутри оболочки. Если считать телом только поверхность, внутреннюю часть пришлось бы ошибочно исключить.

Форму тела можно представить по реальному предмету, модели или чертежу. Предмет подсказывает, как устроена форма, но геометрическая модель не учитывает его вес, материал и цвет. Чертёж тоже не является самим телом: на плоском листе пространственную глубину показывают условно, иногда искажая видимые размеры. Поэтому изображения помогают воображению, но рассуждать нужно о самом объекте в пространстве.

Положение точки относительно тела

Пользуйтесь таблицей так: сначала выясните, лежит ли точка на границе, а затем определите, с какой стороны от неё находится точка. Для точки на поверхности подходит только средняя строка. Наглядные примеры помогают проверить, что внутреннюю область не смешали с оболочкой.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён шар и отмечены точки A, B и C: A находится в его внутренней области, B — на границе, C — за границей. Укажите положение каждой точки относительно шара. Чтобы ответить, сопоставим каждую точку с тремя возможными положениями относительно тела.

1. Точка A задана внутри шара, а не на его поверхности, значит, она является внутренней.
2. Точка B лежит на границе шара, поэтому относится к поверхности.
3. Точка C находится за границей шара и является внешней.

Ответ: A — внутри шара, B — на его поверхности, C — вне шара. Здесь важно не объединять точки A и B в одну категорию: внутреннее положение не включает границу.

Задача 2. Для куба назовите примеры точек, лежащих внутри, на поверхности и вне тела; объясните, чем точка на грани отличается от точки внутри куба. Мысленно представим куб как заполненное тело с гранями-границей. Тогда положения можно определить по тому, находится ли точка в заполненной части, на границе или за ней.

1. Точка, расположенная в глубине куба и не касающаяся его граней, — пример внутренней точки.
2. Любая точка на грани, ребре или вершине принадлежит поверхности куба.
3. Точка, расположенная за пределами куба, например рядом с ним, является внешней.

Ответ: примеры — точка в глубине куба, точка на его грани и точка рядом с кубом. Точка на грани лежит на границе, а внутренняя точка имеет вокруг себя небольшую область, целиком находящуюся внутри тела. Поэтому точка на грани не является внутренней.

Задача 3. Представьте замкнутую поверхность, состоящую из нескольких частей. Объясните, как она задаёт тело и как определить, находится ли заданная точка внутри или вне него. Части поверхности могут иметь разную форму, но вместе они должны образовать замкнутую границу. Для определения положения точки сначала учитывают, не лежит ли она непосредственно на этой границе.

1. Поверхность рассматривают как единую замкнутую границу, ограничивающую часть пространства.
2. Если точку можно окружить небольшой областью, целиком лежащей в ограниченной части, точка внутренняя.
3. Если вокруг точки можно выделить небольшую область, не пересекающую ограниченную часть, точка внешняя.
4. Если точка лежит на самой поверхности, её отмечают отдельно как точку границы.

Ответ: замкнутая поверхность задаёт границу тела, а её положение относительно точки определяется тем, находится ли точка в ограниченной области, на границе или за ней. Проверка малой области вокруг точки помогает различить внутреннее и внешнее положения. Точку на поверхности нельзя относить ни к одному из этих двух случаев.

Типичные ошибки

Ошибка — считать телом только его поверхность, например представлять куб лишь как набор граней. Так можно упустить внутреннюю область, потому что внимание сосредоточено на видимой оболочке. Проверьте себя: спросите, входят ли в рассматриваемый объект точки между гранями. Если нет, вы описали только поверхность.

Иногда точку на границе относят к внутренним или внешним. Так происходит, когда забывают, что граница образует отдельное положение. Проверка проста: если точка лежит непосредственно на поверхности, назовите её точкой поверхности, а не внутренней или внешней. Это устраняет неоднозначность.

Реальный предмет порой принимают за геометрическое тело без оговорок, хотя у вещи есть материал, цвет и толщина. Ошибка возникает из-за привычки называть предмет его формой. Для проверки уточните, какие свойства важны в задаче: геометрическая модель описывает форму и положение точек, а не все качества вещи. Значит, предмет может быть наглядным примером тела, но не тождественен абстрактной модели.

Плоский рисунок иногда воспринимают как сам пространственный объект. Это происходит потому, что изображение похоже на предмет, но глубина на листе передаётся условно и может искажаться. Проверьте себя, представив объект в пространстве, а не только на бумаге. Чертёж служит подсказкой для воображения, но не заменяет тело.

Связь с другими темами

Для понимания тел полезно уметь различать точку, прямую, плоскость и часть пространства. Представление о границе плоской фигуры помогает увидеть сходство: и у фигуры, и у тела есть граница, но тело занимает часть трёхмерного пространства. Эти знания создают основу для описания пространственных объектов.

Понятия тела и поверхности понадобятся при изучении многогранников и тел вращения. Они также помогают разбираться в сечениях — фигурах, получаемых при пересечении тела плоскостью, — и в объёмах. Чтобы изучать эти темы, важно различать внутреннюю часть тела и его границу.

Что запомнить

• Тело занимает часть пространства.
• Поверхность тела является его границей.
• Тело включает внутренние точки и точки своей поверхности.
• Точка может находиться внутри тела, на его поверхности или вне его.
• Наглядная модель помогает представить тело, но не заменяет сам геометрический объект.