§ 20. Тела

Определения и обозначения

Тело — часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Поверхность входит в границу тела, а не заменяет всё тело целиком. Поэтому при описании тела учитывают и его внутреннюю область, и границу, которая её окружает.

Поверхность тела — граница, отделяющая точки тела от точек, ему не принадлежащих. По одну сторону этой границы находятся внутренние точки, по другую — внешние. Это понятие позволяет точно говорить, где заканчивается тело и начинается остальное пространство.

Многогранник — тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называют гранями многогранника; соседние грани имеют общую сторону. Определение помогает отличить многогранники от тел с кривой поверхностью.

Выпуклое тело — тело, для которого отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком принадлежит этому телу. В условие включаются все точки отрезка, а не только его концы. Это определение нужно, чтобы проверять выпуклость независимо от внешнего впечатления.

Как это устроено

Геометрическое тело рассматривают как часть пространства, потому что одной границы недостаточно, чтобы описать объёмную фигуру. Например, замкнутая оболочка показывает, где фигура заканчивается, но сама по себе не сообщает, какая область считается заполненной. Когда телом называют область вместе с границей, можно определять принадлежность точек и изучать расположение фигуры в пространстве.

Поверхность играет роль разделителя: она отделяет внутренние точки тела от внешних и сама относится к границе. Если провести путь изнутри наружу, он должен пересечь эту границу. Поэтому поверхность не следует считать ни отдельной внешней оболочкой вне тела, ни всей фигурой: она входит в тело как его граничная часть.

Многогранник получается, когда плоские многоугольники соединены так, что вместе образуют замкнутую поверхность, ограничивающую тело. Стороны соседних многоугольников становятся общими сторонами, а сами многоугольники служат гранями. Замкнутость существенна: набор отдельных многоугольников или открытая оболочка ещё не ограничивают тело со всех сторон. Поэтому для распознавания многогранника проверяют всю поверхность, а не только наличие плоских участков.

Выпуклость описывает не форму на глаз, а положение отрезков относительно тела. Если выбрать любые две точки внутри тела или на его границе, весь соединяющий их отрезок должен оставаться в теле. У тела с выемкой можно подобрать точки по разные стороны от неё: часть отрезка пройдёт через пустое пространство. Один такой пример уже показывает, что тело не выпукло, тогда как у выпуклого тела подобного отрезка нет.

Определения относятся к геометрическим моделям, потому что в геометрии форму рассматривают без случайных свойств материала. У реального предмета поверхность может быть неровной, а граница не всегда различима с математической точностью. Поэтому предметы — например, мяч или коробка — лишь приближённо изображают шар или многогранник. Идеальная модель нужна, чтобы рассуждать о форме строго и не отвлекаться на свойства материала.

Основные понятия о телах

Сначала определите, о какой части фигуры идёт речь: о теле или только о его границе. Затем проверьте состав поверхности и, если нужно, свойство отрезков. Такая последовательность помогает не смешивать форму тела с его отдельными признаками.

Разбор задач

Задача 1. Определите, что является телом, а что только его границей: заполненный шар и сфера. Нужно различить пространственную часть и поверхность, которая её ограничивает. Слово «заполненный» указывает, что речь идёт не об одной оболочке, а о всей области шара вместе с границей.

1. Вспомним: тело включает внутренние точки и граничные точки.
2. Заполненный шар содержит внутреннюю область, поэтому это тело.
3. Сфера состоит из точек границы шара и не включает его внутреннюю область.

Ответ: заполненный шар — тело, сфера — его поверхность. Если мысленно оставить только внешнюю оболочку, получится сфера, а не шар.

Задача 2. Фигура ограничена несколькими многоугольниками. Установите, является ли она многогранником. Из условия пока известно только, что многоугольники имеются; нужно проверить, образуют ли они всю поверхность тела и замыкают ли её.

1. Проверим, составлена ли вся поверхность фигуры из многоугольников, а не только отдельные её участки.
2. Убедимся, что многоугольники соединены общими сторонами и вместе образуют замкнутую поверхность.
3. Если поверхность замкнута и состоит только из таких многоугольников, назовём их гранями и применим определение многогранника.

Ответ: фигура является многогранником, если выполнены обе проверки. Если поверхность открыта или содержит кривые участки, одного наличия нескольких многоугольников недостаточно.

Задача 3. У тела есть выемка. Найдите две точки тела, отрезок между которыми выходит за его пределы, и сравните результат с выпуклым телом. Чтобы проверить свойство, выбираем точки по разные стороны от выемки, но так, чтобы соединяющий их отрезок пересекал пустую часть.

1. Обозначим выбранные точки A и B и убедимся, что обе принадлежат телу.
2. Рассмотрим весь отрезок AB, а не только его концы.
3. Если часть AB проходит через выемку вне тела, определение выпуклости нарушено.
4. Для выпуклого тела такая пара невозможна: какой бы парой точек мы ни воспользовались, весь отрезок останется в теле.

Ответ: тело с выемкой невыпукло, если найденный отрезок выходит за его границу. Для выпуклого тела каждый отрезок между любыми двумя его точками целиком принадлежит телу.

Типичные ошибки

Ошибка: считать телом только его поверхность. Так путают границу с областью, которую она ограничивает. Проверьте себя вопросом: учитываются ли точки внутри? Если да, речь идёт о теле, а поверхность — только его граница.

Ошибка: путать шар и сферу. В обычной речи эти слова иногда употребляют как синонимы, но геометрически они обозначают разные объекты. Проверьте, включена ли внутренняя область: шар включает её, а сфера состоит только из граничных точек.

Ошибка: называть многогранником любую фигуру с плоскими участками. Плоские части могут соседствовать с кривой поверхностью или не образовывать замкнутую оболочку. Чтобы проверить название, мысленно обойдите всю поверхность: она должна быть составлена из многоугольников, ограничивающих тело.

Ошибка: определять выпуклость только на глаз. Выемка кажется очевидным признаком, но решающим является не внешний вид, а отрезки между точками тела. Выберите пару точек, проверьте весь отрезок и ищите участок, который выходит наружу; для доказательства выпуклости условие должно выполняться для любой пары.

Связь с другими темами

Для работы с телами нужны знакомые понятия точки, отрезка, многоугольника и представления о пространстве: именно из них строятся определения. Тела и многогранники станут основой для изучения призм, пирамид и других пространственных фигур. Различение тела и его поверхности понадобится при переходе к объёмам и площадям поверхностей. Так общие понятия помогают описывать более сложные фигуры и их измерения.

Что запомнить

• Тело — часть пространства, ограниченная поверхностью.
• Поверхность тела составляет его границу.
• Многогранник ограничен поверхностью из многоугольников.
• Грани многогранника — многоугольники, составляющие его поверхность.
• Выпуклость проверяют по отрезку между любыми двумя точками тела.
• Шар и сфера — не одно и то же: шар является телом, сфера — его поверхностью.