5.1. Существование и единственность

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, иначе через них можно было бы провести плоскость, и не параллельны, поскольку параллельные прямые тоже лежат в одной плоскости. Это понятие помогает отличать пространственное взаимное расположение прямых от случаев, возможных на плоскости.

Общий перпендикуляр двух прямых — отрезок, концы которого принадлежат разным прямым, а сам отрезок перпендикулярен каждой из них. Слово «общий» означает, что прямой угол образуется и с одной прямой, и с другой. По этому условию проверяют, подходит ли отрезок для измерения расстояния между прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Среди отрезков, соединяющих точки на прямых, именно этот отрезок задаёт расстояние. Поэтому недостаточно выбрать по точке на каждой прямой и измерить расстояние между ними: нужно проверить перпендикулярность обеим прямым.

Как это устроено

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Через a можно провести плоскость α, параллельную b: направление b задаёт направление линии, параллельной b в α. При этом b не лежит в α и не пересекает её, иначе прямые оказались бы в одной плоскости. Такое расположение переводит пространственную задачу в рассмотрение плоскостей и параллельных линий.

Теперь рассмотрим плоскость α, содержащую a и параллельную b. Плоскость β, проведённая через b параллельно a, параллельна α: в обеих плоскостях есть направления a и b. Между параллельными плоскостями можно провести перпендикулярный отрезок. Он задаёт направление, одинаково перпендикулярное направлениям прямых a и b, но сам по себе ещё не обязан иметь концы на нужных прямых.

Чтобы получить нужные концы, через точку B на b проводят перпендикуляр к α и находят его основание C. В α через C проводят прямую, перпендикулярную a; она пересекает a в точке A. Отрезок AB составлен из составляющих BC и CA: BC перпендикулярен α, а CA лежит в α и перпендикулярен a. Для общей перпендикулярности важно также учесть направление b: в плоскости, проведённой через b перпендикулярно α, след пересечения с α параллелен b, и поперечный отрезок перпендикулярен этому направлению.

Проверим перпендикулярность первой прямой. В построении A лежит на a, а отрезок от основания перпендикуляра к α до A проведён в α перпендикулярно a; отрезок, перпендикулярный всей α, тоже перпендикулярен a. Их сочетание задаёт направление общего перпендикуляра. В геометрическом обосновании используют признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна этой плоскости.

Для второй прямой рассуждение строят аналогично, пользуясь плоскостью через b и параллельностью построенных направлений. Отрезок, полученный в результате, имеет конец на каждой исходной прямой и перпендикулярен обеим; следовательно, общий перпендикуляр существует. Единственность доказывают отдельно: при двух общих перпендикулярах направление отрезков должно быть одно и то же, а положение конца на прямой задаётся единственным перпендикуляром к ней из соответствующей точки. Значит, совпадают и направление, и концы.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых

Используйте таблицу как план доказательства: сначала установите взаимное расположение прямых, затем разберите построение и проверьте оба прямых угла. Последние строки связывают доказанный факт с единственностью и определением расстояния.

Разбор задач

1. Почему общий перпендикуляр существует?

Условие. Даны две скрещивающиеся прямые. Нужно объяснить, почему можно провести отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой. Идея: перейти к построению перпендикуляра в плоскости, параллельной одной из прямых, и проверить оба прямых угла.

1. Через первую прямую проведём плоскость α, параллельную второй прямой. Параллельность позволяет перенести направление второй прямой в α, не меняя углов.
2. Проведём через вторую прямую плоскость β, параллельную первой. Плоскости α и β параллельны, поэтому перпендикуляр к одной из них перпендикулярен и другой.
3. Используем перпендикулярные построения в этих плоскостях, чтобы получить отрезок с концами на исходных прямых. Направления прямых в соответствующих плоскостях сохраняются параллельным переносом.
4. Проверим полученный отрезок отдельно с каждой прямой: его направление перпендикулярно направлениям обеих. Значит, построен общий перпендикуляр, и его существование доказано.

Ответ. Общий перпендикуляр существует: параллельные плоскости и перпендикулярные направления позволяют построить его с концами на заданных прямых. В доказательстве следует явно указать проверку перпендикулярности обеим прямым, а не только одной.

2. Общий перпендикуляр в прямоугольном параллелепипеде

Условие. По изображению прямоугольного параллелепипеда нужно указать общий перпендикуляр двух скрещивающихся рёбер. Идея: не угадывать отрезок по рисунку, а проверить принадлежность концов рёбрам и оба прямых угла. Перпендикулярные направления рёбер параллелепипеда обычно видны по его прямоугольным граням.

1. Обозначьте выбранные скрещивающиеся рёбра, например a и b, и найдите отрезок, соединяющий точку на a с точкой на b. Убедитесь, что это именно рёбра, а не продолжения их прямых.
2. Проверьте перпендикулярность отрезка ребру a. Если оба направления лежат в одной прямоугольной грани, достаточно установить, что это соседние стороны прямоугольника.
3. Отдельно проверьте угол с ребром b. Нельзя делать вывод о втором угле только из первого: используйте соответствующую грань или свойства взаимно перпендикулярных направлений.

Ответ. Общий перпендикуляр — только тот отрезок, который соединяет выбранные рёбра и перпендикулярен каждому из них. Без конкретного изображения нельзя назвать его буквенное обозначение, но проверка состоит из указанных трёх условий.

3. Почему общий перпендикуляр единственен?

Условие. Нужно доказать, что у двух скрещивающихся прямых не может быть двух общих перпендикуляров. Идея: предположить обратное и свести выбор отрезка к единственности перпендикуляра к прямой из заданной точки.

1. Предположим, что общими перпендикулярами служат два разных отрезка. Каждый из них имеет концы на тех же прямых и образует прямой угол с каждой.
2. Рассмотрим плоскость, в которой проводится перпендикуляр к одной из прямых из заданной точки. В этой плоскости оба предполагаемых отрезка должны задавать один и тот же перпендикуляр.
3. Перпендикуляр к прямой из данной точки единственный. Поэтому соответствующие концы отрезков совпадают, а требование перпендикулярности второй прямой не даёт нового выбора.

Ответ. Два разных общих перпендикуляра существовать не могут. Следовательно, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых единственен.

Типичные ошибки

Считать общим перпендикуляром любой отрезок, соединяющий прямые. Так ошибаются, когда смотрят только на то, что концы принадлежат разным прямым; однако соединяющий отрезок может быть наклонным. Проверьте два угла: он должен быть перпендикулярен обеим прямым.

Доказывать перпендикулярность только одной прямой и без объяснения переносить её на другую. Это кажется допустимым, если отрезок нарисован рядом с нужным ребром, но пространственный рисунок не гарантирует прямого угла. Для проверки укажите основание каждого перпендикулярного отношения отдельно.

Смешивать существование с единственностью. Построенный отрезок доказывает, что хотя бы один общий перпендикуляр есть, но не исключает наличие второго; такое смешение возникает, когда доказательство заканчивают сразу после построения. Для единственности предположите, что отрезков два, и покажите, что их концы обязаны совпасть.

Принимать расстояние между прямыми за расстояние между произвольно выбранными точками. Эти точки могут дать отрезок длиннее общего перпендикуляра, даже если он наглядно выглядит коротким. Проверьте, что измеряемый отрезок перпендикулярен обеим прямым; только тогда его длина является расстоянием между ними.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать признаки скрещивающихся прямых, свойства перпендикулярных прямых и плоскостей, а также единственность перпендикуляра к прямой из заданной точки. Эти факты помогают построить общий перпендикуляр и отдельно обосновать, почему он только один. Дальше понятие используют при нахождении расстояний между скрещивающимися прямыми и в задачах на перпендикулярность в пространстве. Оно помогает заменить сложное пространственное измерение длиной определённого отрезка.

Что запомнить

• У двух скрещивающихся прямых существует общий перпендикуляр.
• Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых единственен.
• Концы общего перпендикуляра лежат на соответствующих прямых.
• Общий перпендикуляр перпендикулярен каждой из двух прямых.
• Длина общего перпендикуляра равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.