§ 5. Существование и единственность. Построения

Определения и обозначения

Существование геометрического объекта означает, что такой объект можно построить или что его наличие следует из принятых аксиом — исходных утверждений геометрии. Например, если условия позволяют провести окружности и получить их пересечение, это может дать искомую точку. Понятие существования нужно, чтобы выяснить, есть ли у задачи хотя бы одно решение.

Единственность означает, что заданные условия определяют ровно один объект. Если подходят две фигуры, не совпадающие в оговорённом смысле, единственности нет, даже если одна из них уже построена. Это понятие помогает отличить задачу с одним результатом от задачи с несколькими возможными ответами.

Задача на построение — задача, в которой требуется получить фигуру, удовлетворяющую заданным условиям. Например, можно попросить построить треугольник по трём сторонам. Такое определение позволяет сразу разделить работу: найти способ получить фигуру и обосновать, что она подходит.

Построить фигуру циркулем и линейкой — значит выполнить конечную последовательность допустимых операций с этими инструментами. К ним относятся, в частности, проведение прямой через заданные точки и проведение окружности с заданным центром и радиусом. Это уточнение не позволяет подменить построение измерением или приблизительным рисунком.

Как это устроено

В задаче на построение отдельно выясняют, существует ли решение и единственно ли оно, потому что эти вопросы не следуют один из другого. Удачный чертёж может подсказать подходящую фигуру, но не доказывает, что она действительно выполнима по правилам построения. И даже если один вариант получен и проверен, могут существовать другие. Поэтому выполнение построения само по себе не заменяет рассуждения о существовании и единственности.

Общий ход решения включает анализ условий, план построения, выполнение построения и доказательство правильности. Сначала разбираются, как связаны данные и искомые элементы; затем из этих связей составляют последовательность действий. После этого план выполняют, а полученную фигуру проверяют. Такой порядок нужен, чтобы не переходить к чертежу наугад и не потерять условия задачи.

Анализ помогает выяснить, какие элементы искомой фигуры уже определяются данными и какие дополнительные условия нужно учесть. Например, одна связь может определить положение точки, но не исключить второй вариант по другую сторону прямой. Если заранее заметить это, можно запланировать проверку обоих вариантов или понять, какое условие выбирает нужный. Поэтому анализ превращает исходные сведения в осмысленный план.

Доказательство устанавливает существование решения, когда подтверждает, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям задачи. Для этого недостаточно сказать, что результат «виден на чертеже»: нужно связать свойства полученных элементов с исходными данными. Если хотя бы одно условие не проверено, построенная фигура может оказаться лишь похожей на искомую. Проверка завершает обоснование того, что решение найдено.

Чтобы доказать единственность, рассматривают произвольную фигуру, которая удовлетворяет условиям, и показывают, что она совпадает с построенной. Для этого используют те же связи и свойства, которые были выявлены при анализе. Если все возможные элементы такой фигуры однозначно определены, другого решения быть не может. Так исследование отвечает на вопрос о числе решений, а не только о правильности одного примера.

Проверка решения задачи на построение

Пользуйся таблицей как проверочным списком: после каждого этапа спроси себя, на какой вопрос ты ответил и чем это обосновано. Если построение выполнено, но доказательство или исследование пропущено, решение ещё не завершено. Особенно внимательно проверяй последний столбец: он показывает, какое утверждение должно подтверждаться рассуждением.

Разбор задач

Серединный перпендикуляр к отрезку

Условие. Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку AB и доказать, что он проходит через середину отрезка. Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Два его свойства нужно подтвердить отдельно.

1. Поставим раствор циркуля больше половины длины AB и проведём окружности с центрами A и B одинакового радиуса. Такой радиус выбран, чтобы окружности пересеклись в двух точках C и D.
2. Проведём прямую CD. Точки C и D равноудалены от A и B, поскольку каждая лежит на обеих окружностях. Значит, C и D лежат на серединном перпендикуляре к AB, а прямая CD и есть этот перпендикуляр.
3. Пусть M — точка пересечения CD и AB. Треугольники ACM и BCM равны по гипотенузе AC = BC и общему катету CM. Поэтому AM = MB и углы при M равны; так как они смежные, каждый прямой.

Ответ. Прямая CD построена допустимыми операциями, проходит через середину AB и перпендикулярна AB. Равенство AM = MB доказывает, что M — середина отрезка. Значит, построенная прямая действительно является серединным перпендикуляром.

Треугольник по трём сторонам

Условие. Построить треугольник со сторонами a, b и c и выяснить, когда решение существует и единственно. Чтобы окружности могли дать вершину треугольника, сначала нужно проверить, что каждая сторона меньше суммы двух других. Эти неравенства одновременно исключают вырожденный случай, когда три вершины лежат на одной прямой.

1. Проверим неравенства треугольника: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Если хотя бы одно из них нарушено, треугольник построить нельзя; если все выполнены, продолжаем.
2. Построим отрезок AB = c. Проведём окружность с центром A и радиусом b, а окружность с центром B и радиусом a. Их точка пересечения C удовлетворяет AC = b и BC = a, поэтому ABC имеет нужные стороны.
3. Вторая точка пересечения окружностей, если она рассматривается, лежит по другую сторону от AB и даёт зеркальное расположение того же треугольника. Любой треугольник с такими сторонами должен иметь вершину на обеих окружностях, следовательно, других вариантов формы и размеров нет.

Ответ. Треугольник существует тогда и только тогда, когда выполнены все три неравенства треугольника. Он единственен с точностью до наложения: отражённые расположения совмещаются движением и считаются одним решением.

Параллельная прямая через точку

Условие. Через точку P, не лежащую на прямой l, построить прямую, параллельную l, и обосновать существование и единственность. Для построения можно перенести в точку P угол, который прямая l образует с секущей. Равенство накрест лежащих углов обеспечит параллельность.

1. Возьмём на l точку A и проведём прямую AP. Она пересечёт l в A и будет секущей для искомой параллельной.
2. С помощью циркуля и линейки построим при P угол, равный углу между l и AP, расположив его накрест лежащим относительно секущей AP. Второй луч этого угла задаёт искомую прямую.
3. По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, построенная прямая параллельна l. По теореме о единственной параллельной прямой через точку вне данной прямой другая такая прямая через P пройти не может.

Ответ. Полученная прямая существует, потому что построена допустимыми операциями и параллельна l. Единственность подтверждается соответствующей теоремой. Следовательно, через P проходит ровно одна прямая, параллельная l.

Типичные ошибки

Считать, что выполненное построение автоматически доказывает существование. Это ошибка, потому что рисунок не подтверждает допустимость каждого шага и выполнение условий. Её допускают, доверяя внешнему виду чертежа. Проверь себя: обоснуй каждую операцию и докажи, что итоговая фигура удовлетворяет всем условиям.

Доказывать правильность фигуры, но не выяснять, есть ли другие решения. Такое рассуждение подтверждает существование, но не единственность. Часто эти вопросы смешивают, потому что в задаче уже получен один подходящий результат. Проверь себя: рассмотри произвольную фигуру с теми же условиями и установи, обязана ли она совпасть с построенной.

Считать единственными фигуры, которые лишь выглядят одинаково на рисунке. Единственность с точностью до наложения допускает разные положения фигуры на листе, но не разные формы и размеры. Ошибка возникает, когда расположение на чертеже принимают за существенное свойство. Перед выводом укажи, считаются ли отражённые или повёрнутые варианты одним решением.

Делать вывод о решении по аккуратному рисунку. Чертёж помогает увидеть возможный план, но его точность ограничена, а видимое равенство отрезков ещё не доказано. Такую ошибку допускают, когда заменяют рассуждение зрительным впечатлением. Проверь себя: сформулируй, из каких построений и теорем следует каждое нужное свойство.

Связь с другими темами

Для работы нужны основные геометрические понятия, аксиомы и теоремы: они дают язык для описания условий и основания для доказательств. Также необходимо знать допустимые построения циркулем и линейкой, иначе нельзя обосновать выполнимость плана. Разбор существования и единственности пригодится в других задачах на построение и при доказательстве геометрических теорем. Он помогает понять, достаточно ли условий для определённого результата и могут ли возникнуть другие варианты.

Что запомнить

• Существование и единственность — разные вопросы.
• Для задачи на построение нужны анализ, построение, доказательство и исследование.
• Построение должно состоять из допустимых операций.
• Доказательство подтверждает, что полученная фигура удовлетворяет условиям.
• Единственность требует исключить другие решения.
• Рисунок не заменяет доказательства.