"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Утверждение о существовании говорит, что найдётся хотя бы один объект с заданными свойствами. Доказывать такое утверждение можно двумя способами: предъявить подходящий объект и проверить его или строго вывести, что объект должен существовать, не указывая его явно. Первый подход называется конструктивным, второй — неконструктивным. Различие важно не только для теории: если задачу нужно решить построением, одного вывода о существовании мало. Разберём, как распознавать оба способа и применять их в геометрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Утверждение о существовании говорит, что найдётся объект с заданными свойствами. Для его доказательства достаточно подтвердить наличие хотя бы одного подходящего объекта, а не проверять все возможные объекты. Например, фраза «в треугольнике существует точка, равноудалённая от вершин» требует найти одну такую точку.
Конструктивное доказательство существования указывает искомый объект или описывает способ его построения. Оно полезно, когда объект нужно не только обнаружить в рассуждении, но и получить на практике. После построения всё равно нужно показать, что найденный объект удовлетворяет условиям.
Неконструктивное доказательство существования устанавливает, что объект есть, но не предъявляет его явно и не объясняет, как его построить. Такое рассуждение может быть вполне строгим: например, оно может показать, что предположение об отсутствии объекта приводит к противоречию. В результате мы знаем о наличии объекта, хотя не умеем указать его.
Свидетель существования — конкретный объект, для которого выполнены все условия утверждения. В конструктивном доказательстве такой свидетель обычно предъявляют: называют точку, фигуру или другой объект. Само название ещё не доказывает, что он подходит, поэтому свойства свидетеля необходимо проверить.
Чтобы понять логику утверждения «существует объект с таким-то свойством», отдели его от утверждения «все объекты обладают этим свойством». В первом случае достаточно одного примера, потому что слово «существует» означает «найдётся хотя бы один». Поэтому доказательство не должно перебирать все варианты: оно должно убедительно подтвердить наличие хотя бы одного подходящего объекта.
В конструктивном доказательстве сначала выбирают или строят кандидата, а затем проверяют его свойства. Порядок важен: нельзя перейти от удобного построения сразу к выводу, будто условия выполнены. Например, пересечение двух линий ещё не означает, что полученная точка равноудалена от нужных объектов; это следует обосновать отдельными геометрическими фактами. Проверка превращает кандидата в свидетеля существования.
Неконструктивное доказательство действует иначе: оно устанавливает наличие объекта, не предъявляя его. Один распространённый ход — предположить, что подходящего объекта нет, а затем получить противоречие с уже известной теоремой или условием. Другой ход — использовать общие свойства объектов или исключить все случаи, в которых нужного объекта не было бы. Причина, по которой такой способ работает, в том, что логический вывод о наличии объекта не всегда требует знания его конкретного положения.
Оба способа отвечают на вопрос, есть ли объект, но дают разный объём информации. Конструктивное доказательство сообщает не только о существовании, но и о самом объекте либо о способе его получения. Неконструктивное даёт только обоснованный вывод о наличии, поэтому узнать, где именно находится объект, из него может быть нельзя. Это различие не делает один способ «настоящим», а другой — неполноценным: оба доказывают утверждение, если рассуждение верно.
Способ выбирают с учётом цели и доступных идей. Если условие просит найти или построить фигуру, явное построение обычно полезнее: оно даёт ответ, которым можно воспользоваться. Но построение иногда сложно или невозможно выразить простыми действиями, тогда как существование следует из общего рассуждения. В задаче, где нужно лишь доказать, что объект имеется, неконструктивный способ может оказаться короче и яснее.
| Что сравниваем | Конструктивное доказательство | Неконструктивное доказательство |
|---|---|---|
| Как подтверждается существование | Указывается объект или способ его построения | Существование выводится без явного указания объекта |
| Что можно получить после доказательства | Сам объект или алгоритм его получения | Вывод о наличии объекта |
| Что необходимо проверить | Что построенный объект удовлетворяет условиям | Что рассуждение действительно влечёт существование |
| Типичный ход рассуждения | Построение и проверка | Противоречие или общий аргумент |
Пользуйся таблицей, чтобы определить, какой результат даёт доказательство: предъявляет ли оно объект или только устанавливает его наличие. Затем проверь соответствующую часть рассуждения: свойства построенного объекта либо логическую связь между аргументом и существованием. Если в задаче требуется найти объект, обрати внимание на то, хватает ли полученного результата для этой цели.
Задача. Докажите, что в любом треугольнике существует точка, равноудалённая от всех трёх вершин. Здесь можно не ограничиваться выводом о наличии точки, а предъявить её конструктивно. Для этого используем серединные перпендикуляры: каждая точка на такой прямой равноудалена от концов соответствующей стороны.
Рассмотрим треугольник ABC и построим серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC. Они не параллельны, поэтому пересекаются в точке O. Это пересечение и будет кандидатом на роль искомой точки.
Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AB, то OA = OB. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то OA = OC. Оба равенства следуют из свойства точек серединного перпендикуляра.
Из OA = OB и OA = OC получаем OA = OB = OC. Значит, O равноудалена от всех трёх вершин, и условия задачи выполнены. Точка O — предъявленный свидетель существования.
Ответ: точка пересечения серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника.
Задача. Докажите, что в любом треугольнике существует точка, равноудалённая от его сторон. Здесь расстояние от точки до стороны понимается как длина перпендикуляра к прямой, содержащей эту сторону. В качестве кандидата возьмём центр вписанной окружности.
Построим биссектрисы двух углов треугольника. Их пересечение обозначим I; биссектрисы треугольника пересекаются внутри него, и эта точка лежит также на биссектрисе третьего угла.
Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Поэтому из того, что I лежит на биссектрисах углов, следует равенство расстояний от I до всех трёх сторон.
Значит, I удовлетворяет условию задачи и служит предъявленным свидетелем существования. Эта же точка является центром окружности, касающейся всех трёх сторон, то есть вписанной окружности.
Ответ: центр вписанной окружности треугольника.
Задача. Докажите, что среди любых шести точек на окружности найдутся две, расстояние между которыми не превосходит длины хорды, стягивающей дугу в 60°. Утверждение требует доказать наличие пары, но не обязательно заранее знать, какие именно точки образуют её. Для этого разделим окружность на шесть равных дуг.
Разобьём окружность на шесть дуг по 60°, проведя радиусы к их концам. Рассмотрим эти дуги как шесть участков, на которые распределены выбранные точки. Если точка совпала с границей участков, отнесём её к одному из соседних участков.
Распределим шесть точек по шести участкам. Если в каждом участке окажется не больше одной точки, то во всех шести участках будет ровно по одной. В этом случае можно взять точки, оказавшиеся в соседних участках, но такой выбор сам по себе не гарантирует, что их расстояние не больше хорды для 60°.
Поэтому применим принцип Дирихле к шести участкам, учитывая границы: если точки лежат точно на разделительных радиусах, их можно отнести к участкам так, чтобы соседние точки оказались в одном участке или на общей границе. Для двух точек в одном участке меньший угловой промежуток между ними не больше 60°, а длина хорды не возрастает с углом от 0° до 180°.
Следовательно, расстояние между найденными точками не больше хорды, стягивающей дугу в 60°. Рассуждение доказывает существование пары, но её конкретный выбор зависит от расположения точек.
Ответ: такая пара точек существует.
Назвать объект и остановиться. Возможный кандидат ещё не доказывает утверждение: он может не удовлетворять одному из условий. Такую ошибку допускают, когда свойства объекта кажутся очевидными после построения. Проверь себя: выпиши каждое требование задачи и укажи, каким фактом подтверждается каждое из них.
Считать упоминание объекта конструктивным доказательством. Названная точка не обязательно найдена: если не объяснено, как её получить или однозначно определить, способ построения не предъявлен. Часто путают название известного объекта с его построением. Проверь, сможет ли другой человек, пользуясь твоим описанием, воспроизвести нужный объект.
Принимать неконструктивное доказательство за отсутствие доказательства. Оно может не сообщать координаты или способ построения, но всё равно строго устанавливает существование. Ошибка возникает из-за ожидания, что любое доказательство обязано показать сам объект. Проверь логические переходы: если из верных предпосылок следует наличие объекта, утверждение доказано.
Не связать противоречие с существованием. В доказательстве от противного недостаточно получить противоречие: нужно показать, что к нему привело именно предположение об отсутствии искомого объекта. Иначе вывод может не относиться к исходному утверждению. Проверь, сформулировано ли предположение «такого объекта нет» и следует ли из противоречия, что он должен существовать.
Для этой темы нужны логическая форма утверждений о существовании, доказательство от противного и основные геометрические построения. Она непосредственно связана с задачами на построение: в них обычно требуется не только обосновать существование фигуры, но и указать, как её получить. Различение конструктивных и неконструктивных рассуждений помогает анализировать теоремы и алгоритмы. Оно также показывает, какой именно результат даёт доказательство: объект или только вывод о его наличии.
Чем конструктивное доказательство отличается от неконструктивного?
Конструктивное доказательство предъявляет подходящий объект или описывает, как его построить. Неконструктивное строго доказывает, что такой объект есть, но не указывает его явно.
Обязательно ли в доказательстве существования указывать конкретный объект?
Нет: для утверждения о существовании достаточно строго установить наличие хотя бы одного объекта с нужными свойствами. Однако если объект предъявлен или дан способ его получения, доказательство конструктивное.
Как проверить, что построенный объект действительно подходит?
Нужно отдельно проверить каждое условие задачи для этого объекта. Например, для точки, равноудалённой от сторон, следует обосновать равенство расстояний до всех трёх сторон.
Может ли доказательство от противного установить существование объекта?
Да. Можно предположить, что такого объекта нет, и вывести противоречие с известными фактами. Тогда существование доказано, хотя сам объект может остаться неуказанным.
Как понять, какой способ доказательства выбрать?
Если требуется найти или построить объект, обычно выбирают конструктивный способ. Если построение затруднительно, но наличие объекта легко следует из общих свойств или рассуждения от противного, подходит неконструктивный.
5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства существования
