5.4. О построении пирамид и призм

Определения и обозначения

Параллельная проекция — способ изображения пространственной фигуры на плоскости, при котором её точки переносят по параллельным проектирующим прямым. Иначе говоря, от каждой точки фигуры мысленно проводят прямую одного и того же направления до плоскости чертежа. Такой способ нужен, чтобы показать пространственные связи между элементами без перспективного уменьшения удалённых частей.

Изображение многогранника — плоский чертёж, на котором вершины соединены отрезками с учётом видимых и невидимых рёбер. Вершины обозначают точками, а рёбра — отрезками между соответствующими точками. Это определение помогает читать чертёж как схему объёмной фигуры, а не как набор несвязанных линий.

Изображение призмы — чертёж двух равных параллельных оснований, соединённых соответствующими рёбрами. На плоскости основания могут выглядеть неодинаково, но при построении их считают полученными друг из друга переносом. Такое изображение показывает, какие вершины оснований соединены боковыми рёбрами.

Изображение пирамиды — чертёж основания и вершины, соединённой с вершинами основания. Общая точка соответствует вершине пирамиды в пространстве, а отрезки от неё к основанию изображают боковые рёбра. Это правило позволяет увидеть на чертеже и основание, и боковые грани.

Как это устроено

Пространственную фигуру нужно изобразить на плоскости так, чтобы чертёж сохранял её основные связи. При параллельной проекции прямая изображается прямой, а параллельные прямые — параллельными, поэтому проще проследить, какие элементы фигуры имеют общее направление. Если точка лежит на прямой, её изображение лежит на изображении этой прямой. Длины и углы при этом могут измениться: проекция нужна прежде всего для передачи устройства фигуры, а не её точных размеров.

Построение многогранника начинают с основания, потому что оно задаёт расположение вершин, от которых будут строиться остальные элементы. Многоугольник изображают условно: например, квадрат может выглядеть как параллелограмм, если его плоскость наклонена к плоскости чертежа. После этого добавляют вершину пирамиды или второе основание призмы. Такой порядок помогает не потерять соответствие между точками и не соединить случайные вершины.

У призмы два равных параллельных основания, а соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Поэтому второе основание строят переносом первого в одном выбранном направлении: все точки смещают согласованно. На чертеже соответствующие вершины соединяют параллельными и равными отрезками, потому что в призме боковые рёбра имеют одинаковое направление и длину. Если строить каждое ребро произвольно, получившаяся фигура перестанет передавать устройство призмы.

Для построения пирамиды достаточно изобразить многоугольник основания и выбрать точку вне его плоскости. Эта точка изображает общую вершину, а соединение её со всеми вершинами основания создаёт боковые рёбра. Если пропустить хотя бы одну вершину, часть боковых граней не будет показана и чертёж станет неполным. Точку выбирают так, чтобы рёбра можно было различить и понять, какие части фигуры находятся за основанием.

Видимым называют ребро, которое не закрыто от наблюдателя гранями многогранника; невидимое ребро закрыто другими частями фигуры. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, а невидимые — штриховыми, чтобы чертёж передавал глубину и не создавал впечатления, будто все рёбра лежат в одной плоскости. Видимость зависит от выбранного положения фигуры и точки зрения. Поэтому перед началом линий полезно представить, какие грани обращены к наблюдателю, а какие находятся за ними.

Построение и изображение призм и пирамид

Сравни элементы фигур по строкам: в таблице указано, что нужно изобразить и чем отличаются призма и пирамида. Она особенно полезна при проверке готового чертежа: можно пройти по строкам и убедиться, что ни один элемент не пропущен. Правило о невидимых рёбрах применяется к обеим фигурам.

Разбор задач

Треугольная призма

Условие. Построить изображение треугольной призмы по заданному треугольнику-основанию. Нужно получить не просто два треугольника, а показать, какие вершины соответствуют друг другу. Поэтому сначала выбираем общее направление переноса, не меняя его при построении отдельных рёбер.

1. Обозначим вершины заданного основания буквами A, B и C.
2. Выберем направление, в котором будет смещено второе основание, и изобразим равный треугольник A₁B₁C₁. Его вершины должны быть получены одним переносом: AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны и равны.
3. Соединим A с A₁, B с B₁, C с C₁. Проверим, что все три боковых ребра параллельны и имеют одинаковую длину; невидимые части при необходимости обозначим штрихами.

Ответ. Изображение призмы состоит из треугольников ABC и A₁B₁C₁ и рёбер AA₁, BB₁, CC₁. Соответствующие вершины соединены в одном направлении, поэтому полученная схема передаёт устройство треугольной призмы.

Четырёхугольная пирамида

Условие. Построить изображение четырёхугольной пирамиды и обозначить видимые и невидимые рёбра. Сначала нужно представить положение основания и выбрать, с какой стороны на фигуру смотрит наблюдатель. От этого зависит, какие рёбра окажутся закрытыми.

1. Изобразим четырёхугольник ABCD как основание. Выберем положение так, чтобы его рёбра можно было различить на чертеже.
2. Поставим точку S вне изображения основания и соединим её с A, B, C и D. Соединение со всеми четырьмя вершинами необходимо: каждая пара соседних боковых рёбер вместе со стороной основания образует боковую грань.
3. Определим видимость линий по выбранному положению фигуры. Рёбра, которые не закрыты основанием или обращёнными к наблюдателю гранями, проведём сплошными, а закрытые — штриховыми.

Ответ. Получено основание ABCD, вершина S и четыре боковых ребра SA, SB, SC и SD. Все рёбра учтены, а их видимость отмечена типом линии, поэтому чертёж показывает строение пирамиды.

Наклонная призма по чертежу

Условие. По чертежу наклонной призмы определить невидимые рёбра и восстановить недостающие линии. Наклонная призма отличается тем, что боковые рёбра не перпендикулярны основаниям, но соответствующие рёбра всё равно параллельны. Значит, начинать восстановление нужно с поиска пар соответствующих вершин.

1. Найдём два изображения оснований и установим, какие вершины в них соответствуют друг другу. Для этого сравним порядок вершин по контуру.
2. Проверим боковые рёбра: они должны иметь одно направление и быть параллельны. Если линия отсутствует, проведём её от вершины первого основания к соответствующей вершине второго, сохраняя это направление.
3. Для каждой грани проверим, какие рёбра должны ограничивать её контур. Затем определим, закрыты ли недостающие линии другими гранями, и проведём видимые сплошными, а невидимые штриховыми.

Ответ. Недостающие рёбра восстанавливаются по соответствию вершин и параллельности боковых рёбер. Проверка границ граней и видимости помогает исключить линии, которые противоречат устройству призмы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — изображать основания призмы непараллельными или неодинаковыми. Её допускают, когда второй многоугольник рисуют отдельно, не связывая его вершины с первым основанием. Проверь, что он получен переносом, а соответствующие вершины можно соединить равными параллельными отрезками.

Вторая ошибка — соединять вершину пирамиды не со всеми вершинами основания. Так случается, если чертёж воспринимают как рисунок одной видимой стороны, а не как изображение всего многогранника. Пересчитай вершины основания и убедись, что от общей вершины проведено столько боковых рёбер, сколько у основания вершин.

Третья ошибка — проводить невидимые рёбра сплошными или видимые штриховыми. Часто линии оформляют по привычке, не представляя, какие грани закрывают ребро. Проверь каждое ребро относительно выбранного положения фигуры: закрытое должно быть штриховым, открытое — сплошным.

Четвёртая ошибка — проводить соответствующие рёбра призмы в разных направлениях. Это происходит, когда каждый отрезок строят независимо, хотя все боковые рёбра задаются одним переносом. Для самопроверки сравни их направления и длины: на изображении они должны быть параллельны и равны.

Связь с другими темами

Для построений нужно знать определения призмы и пирамиды, основания, боковой грани, бокового ребра и рёберного элемента многогранника. Также пригодятся свойства параллельных прямых и плоскостей: именно они помогают правильно связать элементы чертежа. Если эти понятия знакомы, построение становится последовательным, а не случайным.

Навык изображения многогранников понадобится при изучении сечений, взаимного расположения прямых и плоскостей и задач на построение пространственных фигур. Чтобы построить сечение, сначала нужно увидеть, где плоскость пересекает грани и рёбра. Понятный чертёж помогает не пропустить точки пересечения и правильно соединить их.

Чертежи используют и при доказательстве свойств многогранников, и при вычислении их площадей и объёмов. Они помогают установить, какие элементы относятся к одной грани и какие величины требуется найти. При этом сам чертёж служит опорой для рассуждения, а доказательство должно опираться на геометрические свойства фигуры.

Что запомнить

• Пространственную фигуру изображают на плоскости с помощью параллельной проекции.
• При параллельной проекции прямые и параллельные прямые изображаются прямыми и параллельными прямыми.
• Изображение призмы начинают с построения одного основания.
• Второе основание призмы должно быть равным и параллельным первому.
• Изображение пирамиды строят от основания к одной общей вершине.
• Соответствующие вершины призмы соединяют рёбрами одного направления.
• Невидимые рёбра на чертеже показывают штриховыми линиями.