5.5. Построения на чертежах пространственных фигур и реальные построения

Определения и обозначения

Чертёж пространственной фигуры — это плоское изображение, которое показывает расположение её элементов: вершин, рёбер и граней. Оно не является точной копией фигуры, потому что объёмное тело нельзя перенести на плоский лист без потери сведений о глубине. Такой чертёж нужен, чтобы наглядно рассуждать о фигуре и выполнять геометрические построения.

Параллельное проектирование — способ изображать фигуру на плоскости с помощью параллельных лучей, направленных к плоскости изображения. При нём параллельные прямые остаются параллельными, поэтому проще передать взаимное расположение рёбер. Длины и углы при этом обычно искажаются, так что способ помогает читать фигуру, но не измерять её по рисунку.

Видимое ребро — ребро, которое в выбранном изображении не закрыто другими частями фигуры. Его обычно проводят сплошной линией, чтобы показать контур и доступные наблюдателю элементы. Это обозначение помогает отделить переднюю часть фигуры от скрытой.

Невидимое ребро — ребро, закрытое другими частями фигуры при выбранном положении. На чертеже его обычно изображают штриховой линией, чтобы не смешивать с видимыми рёбрами. Такое обозначение позволяет восстановить пространственное строение фигуры, даже если часть её контура не видна.

Как это устроено

Объёмное тело имеет глубину, а лист — только два измерения, поэтому при изображении неизбежно приходится условно передавать третье измерение. Если попытаться сохранить на рисунке все свойства тела одновременно, это невозможно: плоское изображение неизбежно теряет часть пространственной информации. Поэтому чертёж не копирует фигуру буквально, а выделяет свойства, нужные для рассуждения. В разных задачах удобнее показать разные элементы, сохраняя при этом понятную форму.

Чтобы фигура читалась, сначала выбирают положение, в котором различимы её основные грани и рёбра. Затем вершины обозначают буквами, а линии проводят так, чтобы было ясно, какие вершины они соединяют и к каким граням относятся. Если подписей слишком много или линии накладываются друг на друга, чертёж становится трудным для чтения. Поэтому обозначают только необходимые элементы и добавляют вспомогательные линии лишь тогда, когда они помогают решению.

При параллельном проектировании лучи, которыми изображают точки фигуры, идут в одном направлении. Поэтому прямые, параллельные друг другу в пространстве, остаются параллельными на чертеже: это следует из самого устройства проектирования. Но наклон линии к плоскости изображения меняет её видимую длину, а наклон плоскости может изменить изображённые углы. Значит, параллельность можно использовать как свойство рисунка, а равенство длин и углов нельзя заключать только по внешнему виду.

Видимость зависит от того, как расположена фигура относительно наблюдателя и плоскости рисунка. Ребро, заслонённое гранью, не видно, хотя оно существует и может быть важно для задачи. Если провести его штриховой линией, читатель поймёт, что линия обозначает скрытое ребро, а не случайный отрезок. Сопоставляя сплошные и штриховые линии, можно восстановить границы граней и связи между вершинами.

Построение на чертеже нужно для того, чтобы исследовать фигуру и обосновать решение; для него достаточно корректно передать необходимые отношения. Реальная разметка или изготовление модели требуют учитывать размеры в выбранных единицах, толщину материала и точность измерений. Поэтому длина, которая кажется подходящей на рисунке, не обязательно подходит для модели. Чертёж помогает спланировать работу, но реальные размеры берут из условия, а не измеряют по условному изображению.

Изображение пространственной фигуры и реальное построение

Сначала определите, что требуется получить: условное изображение, построение элемента или настоящую модель. Затем выбирайте действия в соответствующем столбце и сверяйте результат с последним столбцом. Так можно заметить, например, что хорошо читаемый рисунок ещё не подтверждает точность размеров модели.

Разбор задач

Изобразить тетраэдр, обозначить его вершины и показать видимые и невидимые рёбра

Тетраэдр — многогранник с четырьмя вершинами и четырьмя треугольными гранями. Нужно выбрать расположение, при котором фигуру легко распознать, и показать все шесть рёбер. Видимость зависит от выбранного изображения, поэтому сначала определяем, какая грань условно обращена к наблюдателю. Далее следуем плану.

1. Нарисуйте треугольник ABC как переднюю грань тетраэдра и подпишите его вершины.
2. Выберите четвёртую вершину D и соедините её с A, B и C. Получатся все шесть рёбер: AB, AC, BC, AD, BD и CD.
3. Если треугольник ABC выбран видимой гранью, проведите его рёбра сплошными линиями. Из трёх рёбер, соединяющих D с вершинами основания, одно можно выбрать скрытым по положению на рисунке и провести штриховой линией; остальные покажите сплошными.
4. Проверьте, что каждая пара вершин соединена ровно одним ребром, а штриховая линия действительно соответствует ребру за видимой частью фигуры.

Ответ: получен тетраэдр ABCD с шестью обозначенными рёбрами; скрытое ребро показано штриховой линией, остальные — сплошными. Конкретное ребро, выбранное невидимым, зависит от условного положения фигуры на чертеже. Важно, чтобы обозначения соответствовали выбранному изображению.

На чертеже призмы провести диагональ грани и указать, какие элементы фигуры она пересекает

Пусть дана призма с основанием ABCD и верхним основанием A₁B₁C₁D₁. Требуется провести диагональ грани ABCD и определить, какие элементы она пересекает. Здесь важно не смотреть только на то, какие линии кажутся пересечёнными на рисунке: диагональ лежит в плоскости одной грани. Поэтому сначала устанавливаем её принадлежность, а затем рассматриваем элементы этой грани.

1. Определите, что грань ABCD — четырёхугольник, и найдите её противоположные вершины A и C.
2. Проведите отрезок AC. Поскольку он соединяет противоположные вершины грани, это её диагональ и она целиком лежит в плоскости ABCD.
3. Отметьте, что AC пересекает рёбра AB и CD только в концах A и C соответственно, а с рёбрами BC и AD имеет общие точки на концах отрезка: AC пересекает их в вершинах A и C? Уточните по принадлежности: A принадлежит AB и AD, C принадлежит BC и CD.
4. Следовательно, диагональ имеет общие точки с четырьмя рёбрами грани: AB и AD в точке A, BC и CD в точке C. С рёбрами, не принадлежащими этой грани, совпадение или пересечение нельзя утверждать только по плоскому виду.

Ответ: диагональю выбранной грани является AC. Она встречает рёбра грани в её вершинах A и C; прочие рёбра призмы не следует считать пересечёнными лишь потому, что линии на рисунке накладываются. При решении пространственных задач принадлежность плоскости помогает отличить действительное пересечение от особенности изображения.

По заданным размерам выполнить разметку и собрать простую модель прямоугольного параллелепипеда, сопоставив её с чертежом

Пусть заданы длина a, ширина b и высота c прямоугольного параллелепипеда. Чертёж показывает его форму, но соотношение размеров на нём может быть условным. Для модели нужно использовать сами заданные значения и одну единицу измерения. План работы такой.

1. Запишите размеры a, b и c и выберите материал, на котором можно выполнить разметку.
2. Разметьте прямоугольные грани с соответствующими сторонами: две размером a × b, две a × c и две b × c.
3. Проверьте, что стороны, соединяющиеся при сборке, равны: например, ребро длины a должно совпасть с ребром той же длины соседней грани.
4. Вырежьте или подготовьте детали и соедините их так, чтобы соответствующие рёбра образовали параллелепипед. Сопоставьте полученную модель с чертежом по числу граней, рёбер и их взаимному расположению, а размеры проверьте измерением.

Ответ: модель собирают по реальным значениям a, b и c, а не по длинам линий на рисунке. Если рёбра при соединении не совпадают, следует перепроверить разметку и соответствие размеров граней. Модель и чертёж должны передавать одну и ту же форму, но не обязаны иметь одинаковый масштаб.

Типичные ошибки

Считать, что длины рёбер на чертеже обязаны совпадать с настоящими. Такая ошибка возникает, потому что рисунок выглядит как измерительный чертёж, хотя его часто строят условно. Проверяйте длины по данным задачи, а не по линейке на изображении. Если размеры не заданы, не делайте вывод о настоящей длине по рисунку.

Проводить все рёбра сплошными линиями. Так бывает, когда на чертеже стремятся показать каждое ребро, но не учитывают, что одни части фигуры закрывают другие. В результате становится непонятно, какие элементы находятся впереди. Проверьте положение фигуры относительно наблюдателя и проведите закрытые рёбра штриховыми линиями.

Судить о равенстве углов или отрезков по внешнему виду. Проекция может изменить их изображённую величину, поэтому похожие линии не обязательно равны, а одинаково выглядящие углы не обязательно равны в пространстве. Ошибку допускают, принимая наглядный рисунок за точное измерение. Проверяйте равенство по условию, свойствам фигуры или доказательству.

Путать построение на рисунке с изготовлением модели. Аккуратно проведённые линии показывают расположение элементов, но сами по себе не задают точные размеры деталей. Если переносить размеры с условного рисунка, модель может не соответствовать условию. Перед изготовлением сверяйте разметку с заданными значениями и отдельно проверяйте точность соединений.

Связь с другими темами

Для работы с чертежами нужно знать обозначения точек, прямых и плоскостей и понимать, какие элементы принадлежат фигуре. Тема опирается на параллельное проектирование и правила изображения многогранников: они помогают передавать форму и различать видимые и скрытые части. Умение читать такие рисунки понадобится при изучении сечений многогранников и взаимного расположения прямых и плоскостей. Оно также полезно при разметке и изготовлении геометрических моделей.

Что запомнить

• Чертёж пространственной фигуры — условное плоское изображение.
• Параллельные прямые при параллельном проектировании остаются параллельными.
• Длины и углы обычно нельзя определять по одному лишь внешнему виду чертежа.
• Видимые рёбра проводят сплошными линиями, невидимые — штриховыми.
• Чертёж помогает рассуждать о фигуре, но не заменяет реальное построение.
• При изготовлении модели нужно учитывать заданные размеры и точность разметки.