7.6. Прямая, перпендикулярная данной плоскости. Симметрия относительно плоскости

Определения и обозначения

Прямая, перпендикулярная плоскости, — прямая, которая пересекает плоскость и перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Если прямая l пересекает плоскость α в точке O, запись l ⟂ α означает, что угол между l и любой прямой α через O прямой. Определение помогает точно описать перпендикулярность в пространстве.

Перпендикуляр к плоскости — отрезок или прямая, проведённые из точки к плоскости под прямым углом; точка пересечения называется основанием перпендикуляра. Она показывает, где именно перпендикуляр встречает плоскость. Длина отрезка от точки до основания используется как расстояние от точки до плоскости.

Симметрия относительно плоскости — преобразование, при котором плоскость проходит через середину отрезка между каждой точкой и её образом и перпендикулярна этому отрезку. Поэтому соответствующие точки лежат по разные стороны плоскости на равных расстояниях от неё. Это определение позволяет строить отражённые точки и проверять симметричность фигур.

Плоскость симметрии — плоскость, отражение относительно которой переводит фигуру или тело в себя. Точки плоскости остаются на месте, а точки вне неё меняются местами со своими образами. Понятие помогает находить и доказывать симметрию многогранников.

Как это устроено

В пространстве нельзя установить перпендикулярность плоскости, сравнив прямую только с одним направлением: в плоскости направлений бесконечно много. Но две пересекающиеся прямые задают эту плоскость. Если прямая перпендикулярна обеим, её направление перпендикулярно двум независимым направлениям плоскости, значит, оно перпендикулярно любому направлению в ней. Поэтому перпендикулярность этим двум прямым служит признаком перпендикулярности всей плоскости.

Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает её ровно в одной точке: если бы она имела с плоскостью две общие точки, то целиком лежала бы в плоскости, что несовместимо с перпендикулярностью. По определению она образует прямой угол не только с двумя прямыми, использованными в доказательстве, но и со всеми прямыми плоскости через точку пересечения. Среди отрезков, проведённых от точки вне плоскости к точкам плоскости, перпендикуляр — кратчайший: наклонный отрезок вместе с перпендикуляром образует прямоугольный треугольник, где перпендикуляр является катетом. Поэтому длину перпендикуляра принимают за расстояние до плоскости.

Через точку вне плоскости можно провести перпендикуляр к ней, причём направление такого перпендикуляра определяется плоскостью однозначно. Если бы из этой точки выходили два различных перпендикуляра, они вместе задавали бы плоскость, перпендикулярную данной плоскости по двум направлениям; это невозможно для разных направлений перпендикуляра. Точка, лежащая в плоскости, тоже задаёт единственную перпендикулярную прямую: через неё проходит единственная прямая заданного нормального направления.

Чтобы построить образ точки при отражении, сначала проводят перпендикуляр к плоскости. Его основание должно стать серединой отрезка между исходной точкой и образом, поэтому по другую сторону плоскости откладывают ровно такую же длину. Тогда плоскость перпендикулярна отрезку и проходит через его середину — это и есть условие симметрии. Образ получается на том же перпендикуляре, а расстояние до плоскости сохраняется.

Точка, лежащая в плоскости отражения, совпадает со своим образом. Прямая, перпендикулярная плоскости, переходит в себя: её точки попарно меняются местами по разные стороны, а точка пересечения остаётся на месте. Прямая, лежащая в плоскости, также остаётся на месте поточечно. Для фигуры недостаточно, чтобы её плоскость просто пересекала тело: отражение должно переводить каждую её точку в точку той же фигуры.

Перпендикулярность прямой плоскости и симметрия относительно плоскости

В таблице собраны критерии и их выводы. Сначала проверьте, выполнено ли условие во втором столбце, а затем используйте заключение в третьем. Для симметрии особенно полезно проверять середину и перпендикулярность отрезка, соединяющего соответствующие точки.

Разбор задач

Задача 1. Прямая l проходит через точку O плоскости α и перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b этой плоскости. Докажите, что l ⟂ α.
Решение.

1. Поскольку a и b лежат в α и пересекаются в O, они задают два направления плоскости через точку пересечения с l.
2. По условию l ⟂ a и l ⟂ b. Значит, выполнено условие признака перпендикулярности прямой и плоскости.
3. По признаку заключаем, что l перпендикулярна каждой прямой α через O, следовательно, l ⟂ α.

Ответ: l ⟂ α.

Задача 2. Дана плоскость α: z = 0 и точка P(2; −1; 3). Найдите основание перпендикуляра из P на α, расстояние до α и точку, симметричную P.
Решение.

1. Плоскость z = 0 состоит из точек с координатой z, равной нулю. Перпендикуляр к ней направлен вдоль оси z, поэтому координаты x и y у основания остаются такими же.
2. Полагаем z = 0 и получаем основание H(2; −1; 0). Расстояние PH равно разности координат z по модулю: |3 − 0| = 3.
3. Образ точки лежит на том же перпендикуляре, но на равном расстоянии по другую сторону плоскости. Поэтому координаты x и y не меняются, а z меняет знак: P′(2; −1; −3).

Ответ: H(2; −1; 0), расстояние равно 3, P′(2; −1; −3).

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что плоскость ACC₁A₁ является плоскостью симметрии, и укажите пары симметричных вершин.
Решение.

1. Плоскость проходит через диагонали AC и A₁C₁, а также через рёбра AA₁ и CC₁. Поэтому вершины A, C, A₁, C₁ лежат в ней и при отражении остаются на месте.
2. В основании куба диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в середине. Значит, плоскость через AC перпендикулярна BD и делит этот отрезок пополам; B и D симметричны.
3. В верхнем основании по той же причине плоскость перпендикулярна B₁D₁ и проходит через его середину. Следовательно, B₁ и D₁ также симметричны, и все вершины куба переходят в вершины того же куба.

Ответ: ACC₁A₁ — плоскость симметрии куба; пары вершин: B и D, B₁ и D₁.

Типичные ошибки

Проверка только одной прямой. Можно решить, что одного прямого угла достаточно, потому что в планиметрии часто сравнивают две прямые. Но в плоскости есть много направлений, и перпендикулярность одному из них не проверяет остальные. Убедитесь, что использованы две пересекающиеся прямые плоскости, и только после этого применяйте признак.

Забывают о пересечении с плоскостью. Иногда прямую называют перпендикулярной плоскости, если она лишь направлена под прямым углом к некоторой прямой в ней. Однако по определению перпендикулярная плоскости прямая должна её пересекать. Проверьте, существует ли общая точка; если прямая параллельна плоскости, перпендикуляром она не является.

Неверно строят симметричную точку. Ошибка возникает, если отложить отрезок в другом направлении или взять другую длину. Образ обязан лежать на том же перпендикуляре, по другую сторону плоскости, на равном расстоянии от неё. Для проверки найдите середину соединяющего точки отрезка: она должна лежать в плоскости, а сам отрезок быть ей перпендикулярен.

Считают любую секущую плоскость плоскостью симметрии. Сам факт пересечения фигуры плоскостью ничего не говорит о совпадении фигуры с её отражением. Такую плоскость могут принять за ось симметрии из-за внешне подходящего расположения. Проверьте, что каждой точке фигуры соответствует точка этой же фигуры и что пары соответствующих точек удовлетворяют условию симметрии.

Связь с другими темами

Для работы с перпендикулярностью нужны определения перпендикулярных прямых и плоскостей, свойства прямоугольного треугольника и признаки равенства треугольников. Построение перпендикуляра связано с сечениями и ортогональной проекцией — изображением точки на плоскости по перпендикуляру. Эти знания пригодятся при нахождении расстояний и углов в пространстве, а также при изучении многогранников и движений пространства. Симметрия позволяет распознавать равные части фигуры и обосновывать её свойства.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым плоскости через точку пересечения.
• Чтобы доказать перпендикулярность, достаточно проверить две пересекающиеся прямые плоскости.
• Через любую точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с плоскостью.
• При симметрии плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку между симметричными точками.
• Точки плоскости симметрии остаются на месте.
• Плоскость симметрии переводит фигуру в саму себя.