7.7. Три взаимно перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Взаимно перпендикулярные прямые — это прямые, каждая пара которых перпендикулярна. Иными словами, угол между любой парой равен 90°. Такое определение требует проверить не одну выбранную пару, а все пары прямых.

Три взаимно перпендикулярные прямые — это три прямые, попарно перпендикулярные друг другу. Они пересекаются в одной точке и не могут лежать в одной плоскости. Такая фигура описывает три независимых направления пространства.

Ортогональная система координат в пространстве — система координат, оси которой являются тремя взаимно перпендикулярными прямыми с общей точкой начала. Обычно оси обозначают x, y и z. Это определение нужно, чтобы задавать положение любой точки тремя числами.

Как это устроено

На плоскости через точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Поэтому после построения двух перпендикулярных прямых третья прямая в той же плоскости не сможет пересекать обе под прямым углом. В пространстве появляется новое направление, не принадлежащее этой плоскости, поэтому третью прямую провести можно.

Две пересекающиеся прямые a и b лежат в одной определённой плоскости α. Их точка пересечения O становится естественным основанием для построения третьего направления. Если прямая c проходит через O и перпендикулярна и a, и b, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна плоскости α.

Почему все три прямые имеют общую точку? Прямые a и b уже пересекаются в O, а прямая, перпендикулярная обеим пересекающимся прямым плоскости, проходит через их точку пересечения. Поэтому c проходит через O, и все три прямые пересекаются именно там.

Три прямые образуют три направления: одно лежит вдоль a, второе — вдоль b в плоскости α, третье — вдоль c, перпендикулярно α. Ни одно из этих направлений нельзя получить движением только по двум другим. Поэтому такая конструкция полностью отражает трёхмерность пространства.

Чтобы построить систему координат, точку O принимают за начало координат, а прямые называют осями x, y и z. На каждой оси выбирают положительное направление и единичный отрезок. Тогда координаты точки показывают, насколько нужно переместиться вдоль каждой оси, чтобы попасть в эту точку.

Свойства трёх взаимно перпендикулярных прямых

Таблица помогает быстро проверить, соответствует ли описанная фигура определению и какие выводы из него следуют. При решении задачи сначала ищите общую точку и две пересекающиеся прямые, задающие плоскость. Затем можно применить свойство третьей прямой и перейти к координатной модели.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Даны две пересекающиеся перпендикулярные прямые и точка их пересечения. Как провести через эту точку прямую, перпендикулярную обеим данным?

1. Обозначим прямые a и b, а их общую точку — O. Прямые a и b задают плоскость α.
2. В точке O построим прямую c, перпендикулярную плоскости α. По определению перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна каждой прямой α, проходящей через O.
3. Прямые a и b проходят через O и лежат в α, поэтому c перпендикулярна и a, и b. Полученная прямая не лежит в α, что и позволяет получить третье пространственное направление.

Ответ: через точку O проводят единственную прямую, перпендикулярную плоскости, заданной прямыми a и b; она перпендикулярна обеим данным прямым.

Задача 2

Условие. В прямоугольном параллелепипеде укажите три прямые, проходящие через одну вершину и попарно перпендикулярные, и обоснуйте ответ.

1. Возьмём вершину A и три ребра, выходящие из неё: AB, AD и AA₁. Они имеют разные направления длины, ширины и высоты.
2. В каждой грани параллелепипеда соседние рёбра перпендикулярны, поэтому AB ⟂ AD и AB ⟂ AA₁.
3. Рёбра AD и AA₁ также являются соседними рёбрами одной прямоугольной грани, значит, AD ⟂ AA₁. Следовательно, проверены все три пары.

Ответ: прямые AB, AD и AA₁ — три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через вершину A.

Задача 3

Условие. Через точку пересечения двух прямых a и b проведена прямая c, перпендикулярная плоскости, в которой лежат a и b. Докажите, что a, b и c попарно перпендикулярны.

1. Прямые a и b лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке O. По условию c проходит через O и перпендикулярна α.
2. Прямая c, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра O. Поэтому c ⟂ a и c ⟂ b.
3. Кроме того, a ⟂ b дано или следует из условия их взаимной перпендикулярности. Значит, каждая пара из a, b и c перпендикулярна.

Ответ: прямые a, b и c попарно перпендикулярны.

Типичные ошибки

Недостаточно проверить одну пару. Иногда считают, что если третья прямая перпендикулярна одной из двух, то все три уже взаимно перпендикулярны. Проверьте отдельно пары a и b, a и c, b и c.

Все три прямые располагают в одной плоскости. Такая картинка кажется привычной, но в плоскости после двух перпендикулярных прямых третья не сможет быть перпендикулярной обеим. Проверьте, есть ли у третьей прямой направление вне плоскости первых двух.

Путают прямую и плоскость. Перпендикулярность одной прямой одной линии ещё не означает перпендикулярность всей плоскости. Для вывода нужны две пересекающиеся прямые данной плоскости и общий с ними перпендикуляр.

Не учитывают общую точку. Можно назвать три линии попарно перпендикулярными, не показав, где они пересекаются. Найдите точку пересечения первых двух и убедитесь, что третья проходит через неё.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать определение перпендикулярных прямых и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Без этих понятий нельзя обосновать появление третьего направления и переход от двух прямых к плоскости.

Три взаимно перпендикулярные прямые служат основой пространственной системы координат. На этой модели строятся координатный метод, описание точек и векторов, а также дальнейшее изучение взаимного расположения прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Три взаимно перпендикулярные прямые перпендикулярны попарно.
• В одной плоскости не существует трёх различных попарно перпендикулярных прямых.
• Две пересекающиеся прямые задают плоскость.
• Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна этой плоскости.
• Три взаимно перпендикулярные направления задают координатные оси пространства.