§ 1. Об изображениях фигур в параллельной проекции

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — получение изображения фигуры на плоскости с помощью проектирующих прямых, параллельных одному направлению. Это способ перенести пространственную фигуру на плоский чертёж, не изображая её непосредственно в пространстве. Единое направление позволяет установить, какие свойства фигуры останутся заметны на изображении.

Проектирующая прямая — прямая, проходящая через точку фигуры в заданном направлении проектирования. Через каждую точку проводят такую прямую, чтобы определить, где её образ окажется на плоскости. Все эти прямые параллельны друг другу.

Плоскость проекций — плоскость, на которую проектируют точки и фигуры. Её задают вместе с направлением проектирования: без плоскости неясно, где отмечать результат построения. Направление выбирают так, чтобы проектирующие прямые пересекали эту плоскость в одной точке.

Образ фигуры — множество образов всех её точек на плоскости проекций. Чтобы получить его, строят образы точек, из которых состоит фигура, а затем соединяют их в соответствии с исходной фигурой. Например, образ треугольника образуют проекции его вершин и сторон.

Как это устроено

Для построения задают плоскость проекций и направление, не параллельное этой плоскости. Тогда через любую точку пространства можно провести единственную прямую с заданным направлением: параллельные прямые отличаются расположением, но имеют один и тот же наклон. Эта прямая пересечёт плоскость ровно в одной точке, поэтому образ каждой точки определён однозначно.

Чтобы построить образ точки A, проводят через неё проектирующую прямую параллельно заданному направлению. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и есть образ A′. Перпендикуляр к плоскости проводят только тогда, когда направление проектирования задано перпендикулярным; в общем случае проектирующая прямая может быть наклонной.

Пусть прямая фигуры не параллельна направлению проектирования. Через все её точки проходят параллельные проектирующие прямые, и они вместе с исходной прямой лежат в одной плоскости. Пересечение этой плоскости с плоскостью проекций — прямая, поэтому образы точек исходной прямой располагаются на одной прямой. Концы отрезка переходят в концы его образа, а промежуточные точки — в точки между ними, поэтому образ отрезка является отрезком. Если исходная прямая параллельна направлению проектирования, она может спроектироваться в одну точку.

Коллинеарность сохраняется потому, что точки одной прямой проектируются на прямую образа. Параллельные прямые задают параллельные плоскости, образованные каждой прямой и общим направлением проектирования; их пересечения с плоскостью проекций параллельны, если не происходит вырождения. Отношения отрезков на одной прямой тоже сохраняются: преобразование на этой прямой одинаково меняет масштаб всех отрезков. Поэтому точка, делящая отрезок в заданном отношении, переходит в точку, делящую его образ в том же отношении.

Проекция не обязана сохранять размеры и форму: наклонное изображение может изменить длину отрезка, а прямой угол — стать острым или тупым. Поэтому квадрат на чертеже может выглядеть как параллелограмм, хотя его стороны в пространственной фигуре образуют прямые углы. При этом сохраняются такие свойства, как принадлежность точек одной прямой и параллельность соответствующих прямых. Эти сведения позволяют отличать достоверные свойства фигуры от особенностей её изображения.

Свойства фигур при параллельном проектировании

Таблица помогает быстро определить, что можно заключить об исходной фигуре по её изображению. Сначала найдите нужный объект или свойство, затем проверьте указанное условие: некоторые выводы верны только при отсутствии вырождения. Не считайте длину или угол на рисунке точными, если для этого нет дополнительных условий.

Разбор задач

Задача 1. Даны плоскость проекций, направление проектирования и треугольник ABC. Построить образы вершин A, B, C и образ всего треугольника. Важно не подменять заданное направление перпендикулярным: каждая вспомогательная прямая должна быть параллельна именно ему.

1. Через вершину A проведите прямую заданного направления и обозначьте её пересечение с плоскостью проекций A′.
2. Аналогично постройте образы B′ и C′ вершин B и C.
3. Соедините A′, B′ и C′ отрезками. Полученный треугольник A′B′C′ — образ исходного треугольника, если он не выродился в отрезок.

Ответ: образы вершин — A′, B′, C′, а образ треугольника — треугольник A′B′C′. Каждая вершина найдена пересечением своей проектирующей прямой с плоскостью проекций.

Задача 2. Отрезок AB при параллельном проектировании переходит в отрезок A′B′ длиной 15 см. Точка C делит AB в отношении AC:CB = 2:3. Найти длину A′C′. Здесь не нужно восстанавливать пространственный отрезок: достаточно использовать сохранение отношения частей, лежащих на одной прямой.

1. Найдите число равных частей всего отрезка: 2 + 3 = 5.
2. Доля AC от AB равна 2/5. При проектировании точка C делит A′B′ в том же отношении, значит A′C′ составляет 2/5 от A′B′.
3. Вычислите длину: A′C′ = 15 · 2/5 = 6 см.

Ответ: A′C′ = 6 см. Проверка: оставшаяся часть C′B′ равна 15 · 3/5 = 9 см, и 6:9 = 2:3.

Задача 3. Может ли изображение прямоугольника быть произвольным четырёхугольником? Нужно проверить не внешний вид, а свойства, которые проектирование сохраняет. У прямоугольника противоположные стороны попарно параллельны, и это свойство остаётся у их невырожденных образов.

1. Обозначьте вершины прямоугольника последовательно A, B, C, D. Тогда AB параллельна CD, а BC параллельна AD.
2. При параллельном проектировании эти пары прямых переходят в параллельные пары, если образы не вырождаются.
3. Значит, у четырёхугольника A′B′C′D′ обе пары противоположных сторон параллельны. Такой четырёхугольник — параллелограмм, поэтому произвольным он быть не может.

Ответ: нет, невырожденное изображение прямоугольника является параллелограммом. Прямые углы при этом могут измениться, поэтому изображённый параллелограмм не обязан быть прямоугольником.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проводить проектирующие прямые в разных направлениях. Так можно случайно построить изображения точек, но это уже не будет параллельным проектированием. Ошибка возникает, когда направление задают отдельно для каждой точки; проверьте построение, сравнив все проектирующие прямые: они должны быть параллельны.

Вторая ошибка — считать, что изображение сохраняет длины и углы. Обычно на чертеже отрезок выглядит короче или длиннее, а угол меняет величину, потому что фигуру переносят на плоскость наклонными прямыми. Причина ошибки — попытка читать рисунок как точный чертёж; проверяйте выводы по свойствам проекции, а не по внешнему виду.

Третья ошибка — всегда строить перпендикулярную проекцию. Перпендикуляр допустим лишь тогда, когда направление проектирования перпендикулярно плоскости, а в задаче направление может быть другим. Сверьте каждую проведённую прямую с заданным направлением, а не только с плоскостью.

Четвёртая ошибка — забывать о вырожденном случае. Если прямая параллельна направлению проектирования, её точки могут иметь один и тот же образ, поэтому нельзя автоматически изображать её обычной прямой или отрезком. Перед построением проверьте взаимное направление объекта и проектирующих прямых; для невырожденных выводов используйте оговорённые условия.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в проектировании, нужно знать взаимное расположение прямых и плоскостей и условия параллельности. Эти знания помогают проводить проектирующие прямые и определять, где они пересекают плоскость проекций. Навык пригодится при изображении пространственных фигур на чертежах и изучении многогранников.

Параллельное проектирование связано с векторами и координатным методом: направление можно описать вектором, а образ точки — вычислять по координатам. Оно также используется при построении сечений многогранников, когда требуется переносить точки и линии на плоскость и сохранять их взаимное расположение.

Что запомнить

• При параллельном проектировании все проектирующие прямые параллельны одному направлению.
• Образ точки получают пересечением её проектирующей прямой с плоскостью проекций.
• Образ прямой обычно является прямой.
• Параллельность прямых при проектировании сохраняется.
• Отношение отрезков на одной прямой сохраняется.
• Длины и углы при проектировании обычно не сохраняются.
• Образ невырожденного прямоугольника является параллелограммом.